1、2.2.4均值不等式及其应用第1课时学习目标1.学会推导并掌握均值不等式.2.能够简单应用定理求最值.自主预习1.给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值,数称为a,b的几何平均值.2.如果a,b都是正数,那么a+b2ab,当且仅当时,等号成立.3.几何意义:所有周长一定的矩形中,的面积最大.课堂探究问题探究一(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b,求与这个矩形周长相等的正方形的边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,并比较这两个边长的大小;(2)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小,并根据(1)说出结论
2、的几何意义.a12b14a+b213ab122问题探究二均值定理的几何解释:作线段AD=a,延长AD至点B,使DB=b(a,b0)以AB为直径作半圆O,过D点作CDAB于D,交半圆于点C,连接AC,BC,OC.当点D在线段AB(端点除外)上运动时,试探讨OC与CD的大小关系.典型例题:例1已知x0,求y=x+1x的最小值,并说明当x为何值时y取得最小值.变式训练1已知x0,y0,xy=24,求4x+6y的最小值,并说明此时x,y的值.要点归纳在利用均值不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值;三是考虑等号成立的条件是否具备.
3、例2已知ab0,求证:ba+ab2,并推导出等号成立的条件.变式训练2已知ab0,求证:b3a+3ab2,并推导出等号成立的条件.例3已知x(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取得最大值时x的值.核心素养专练1.若0aa+b2abbB.baba+b2aC.ba+b2abaD.baa+b2ab2.已知a0,b0,则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.53.设ba0,且a+b=1,则此四个数12,2ab,a2+b2,b中最大的是()A.bB.a2+b2C.2abD.124.x0,3,y=(1+x)(3-x)的最大值是,最小值是.参考答案自主预习1.a+b2a
4、b2.a=b3.正方形课堂探究典型例题例1解:因为x0,所以根据均值不等式有x+1x2x1x=2,其中等号成立的条件是当且仅当x=1x,即x2=1,解得x=1或x=-1(舍去),因此x=1时,y取得最小值2.变式训练1解:x0,y0,4x+6y224y.又xy=24,4x+6y22424=48.当且仅当4x=6y时,等号成立.即当x=6,y=4时,最小值为48.例2证明:因为ab0,所以ba0,ab0,根据均值不等式得ba+ab2baab=2.即ba+ab2.当且仅当ba=ab时,即a2=b2等号成立.因为ab0,所以等号成立的条件是a=b.变式训练2证明:因为ab0,所以b3a0,3ab0,
5、根据均值不等式得b3a+3ab2b3a3ab=2.即b3a+3ab2.当且仅当b3a=3ab时,即9a2=b2等号成立.因为ab0,所以等号成立的条件是3a=b.例3解:当x(-1,3)时,1+x0,3-x0.(1+x)(3-x)1+x+3-x2=2.从而(1+x)(3-x)4,即y4.当且仅当1+x=3-x,即x=1时,等号成立.从而x=1时,y取得最大值4.核心素养专练1.C2.C3.A4.40学习目标1.能够掌握均值不等式的内容以及证明过程.2.结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.自主预习知识点一算术平均值与几何平均值对任意两个a,b,数叫做a,b的算术平均值,数叫
6、做a,b的几何平均值,两个正实数的算术平均值它的几何平均值.知识点二均值定理1.均值定理如果,那么a+b2ab.当且仅当a=b时,等号成立,以上结论通常称为定理,又叫均值不等式.均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.2.均值不等式求最值的条件(1)x,y必须是.(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为.(3)等号成立的条件是否满足.3.用均值不等式求最值(1)设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当且仅当时,积xy有最值.(2)设x,y为正实数,若xy=p(积p为定值),则当且仅当时,和x+y有最值.课堂探究探究
7、均值不等式国际数学家大会是由国际数学联盟(IMU)主办,首届大会于1897年在瑞士苏黎世举行,1900年巴黎大会之后每四年举行一次,它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.问题1四边形ABCD特殊吗?问题2四边形的面积与四个直角三角形之间有关系吗?问题3每个直角三角形的两直角边分别用a,b表示,你能用ab来表示四边形与直角三角形的面积吗?问题4中间的小正方形可以消失吗?问题5此时a2+b2与2ab的关系怎么样?问题6a2+b22ab的关系永远成立吗?你能用代数法证明吗?问题
8、7特别地,当a,b代替a,b时,上述表达式变为什么?均值定理如果a,bR+,那么,当且仅当a=b时,等号成立.均值定理可以表述为:.均值不等式的使用条件:尝试分别用代数法和几何法证明均值定理.代数法:几何法:例1已知x,yR+,求证:yx+xy2,并推导出不等式中等号成立的条件.变式训练1已知a,bR+,求证:a+1ab+1b4.例2(1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?(2)已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?变式训练2已知x(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取最大值时x
9、的值.核心素养专练1.已知a,b,c为不全相等的正数,求证:a+b+cab+bc+ac.2.求函数y=2-4x-x(x0)的最大值及相应的x.课后作业课本第76页练习A.参考答案自主预习知识点一正实数,a+b2,ab,大于或等于知识点二1.a,bR+,均值2.(1)正实数(2)定值,定值3.(1)x=y最大值(2)x=y最小值课堂探究a+b2ab,两个正实数的算数平均数大于等于它们的几何平均数.例1证明:x,yR+,xy0,yx0.yx+xy2yxxy=2,即yx+xy2,当且仅当x=y时等号成立.变式训练1证明:a,bR+,1a,1bR+.a+1a2a1a=2,b+1b2b1b=2.a+1a
10、b+1b4.当且仅当a=1a,b=1b,即a=b=1时等号成立.例2解:(1)设矩形的长为x,则宽为100x,则矩形的周长l=2x+100x22x100x=40,当且仅当x=100x,即x=10时等号成立,因此,当矩形的长和宽都是10时,它的周长最短,最短周长为40.(2) 设矩形的长为x,则宽为36-2x2=18-x,则矩形的面积S=x(18-x)x+18-x22=81,当且仅当x=18-x,即x=9时等号成立,因此,当矩形的长宽都是9时,它的面积最大,最大面积为81.变式训练2解:因为x(-1,3),所以1+x0,3-x0.所以y=(1+x)(3-x)(1+x)+(3-x)22=4,当且仅当1+x=3-x,即x=1时等号成立.因此y的最大值是4,此时x是1.核心素养专练1.解:a,b,c为不全相同的正数,a+b2ab,b+c2bc,a+c2ac,a+b+b+c+a+c2ab+2bc+2ac.a+b+cab+bc+ac.2.解:x0,y=2-4x-x=2-4x+x2-24xx=-2.当且仅当4x=x,即x=2时等号成立.因此y的最大值是-2,此时x=2.课后作业略