1、1 信阳市 2021 春高一期末重点高中六校联合调研 数学答案和解析 1.【答案】A解：复数=21=2(1+)(1)(1+)=1，则+3=1+3(1 )=4 2 所以+3的虚部为2 2.【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与 平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内两条相交直线都与 平行是的必要条件 3.【答案】C解：记 3 只测量过某项指标的兔子分别为 A，B，C，没有测量过某项指标的兔子为 D，E，则从这 5 只兔子中随机取出 3 只的所有情况为(,B，)，(,B，)，(,B，)，(,C，)，(,C，)，(,D，)，(,C，)
2、，(,C，)，(,D，)，(,D，)，共 10 种，恰有 2 只测量过该指标的所有情况有 6 种，所求概率为610=354.【答案】B解：某 7 个数的平均数为 3，方差为 3，现加入一个新数据 3，此时这 8 个数的平均数为，标准差为 s，方差为2，=73+38=3，2=73+(33)28 3，2 3，5.【答案】C 解：从集合0,1，2，3中随机地取一个数 a，从集合2,4，6中随机地取一个数 b，基本事件总数=12 当向量=(,)与向量=(1,2)垂直时，=2，满足条件的基本事件有=(2,1)(4,2)，(6,3)，共 3 个，则所求概率=312=146.【答案】D解：如图所示，边长为
3、1 的菱形 ABCD 中，=60，=1 1 60=12；又 E 为 BC 中点，=+=+12 ，且=+，=(+)(+12 )=2+32 +12 2=1+32 12+12 1=94 7.【答案】D【解析】Q 在 ABCV中，2cos3C=，3AC=，4BC=，根据余弦定理：2222cosABACBCAC BCC=+，22243224 33AB=+，可得29AB=，即3AB=，即 B=C2cos3B=所以 8.【答案】A3 解：设=，=2，=，因为 E，F 分别是 PA，AB 的中点，所以=12 =，=，在 中，cos=42+1642224=1，在 中，cos=2+16224，整理得2 2=8，因
4、为 是边长为 4 的正三角形，所以=23，又=90，则2+2=12，由得=2，=22 所以=22，所以2+2=16=2，即 ，同理可得 ，则 PA、PB、PC 两两垂直，则球 O 是以 PA 为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为8+8+8=26，所以球 O 的体积为()3468 63=9.【答案】ABD 解 A 项，乙同学仅随机选两个选项有 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种，能得 5 分的情况为 CD 只有 1 种情况，所以能得 5 分的概率是16，正确；B 项，丙同学随机选择选项，选一个选项，有 A、B、C、D 共 4 种情况；选两个选项有 AB，AC，AD，BC，BD，CD
5、 共 6 种；选三个选项有 ABC，ABD，ACD，BCD 共 4 种，选四个选项有 ABCD 共 1 种，所以共有4+6+4+1=15种情况，能得分有 C、D、CD 共 3 种情况，所以能得分的概率是315=15，正确；C 项，丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6种；选三个选项有 ABC，ABD，ACD，BCD 共 4 种，选四个选项有 ABCD 共 1 种，4 所以共有6+4+1=11种情况，能得分有 CD 共 1 种情况，所以能得分的概率是111，错误 D 项，甲同学仅随机选一个选项，有 A、B、C、D 四种情况，能得 3 分的有 C 或
6、D，有 2 种，所以能得 3 分的概率是24=12，正确；10.【答案】BCD 解：.结合以上分析，由古典概型的概率公式得从样本中车速在60,70)的车辆中任意抽取2 辆，则车速都在65,70)内的概率为2866=1433，故 A 错误 B.由图知，车速在60,65)的车辆数为0.010 5 80=4，车速在65,70)的车辆数为0.020 5 80=8，则车速在60,70)的车辆数为 12，从中任意抽取 2 辆的所有可能情况有 66 种，至少有一辆车的车速在65,70)内有两类情况：(1)车速在60,65)内与车速在65,70)内各一辆，其包含的情况有4 8=32种；(2)2辆车速都在65,
7、70)内，其包含的情况有 28 种，故至少有一辆车的车速在65,70)内包含的情况有 60 种，由古典概型的概率公式得，则至少有一辆车的车速在65,70)的概率为6066=1011，故 B 正确；C:在频率分布直方图中，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值75+802=77.5，故 C 正确；D:车速超过75/的频率为0.060 5+0.050 5+0.020 5=0.65，用频率估计概率，故 D 正确；11.【答案】AD 解：由线面垂直的性质知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，A 正确；若/，/，则/或与相交，B 错误；缺少条件 ，=，不能由面面垂直得到线面垂直，或者说 m 可能在平面内
8、，C错误；因为一条直线垂直于两个平行平面中的一个也一定垂直于另一个，D 正确12.【答案】ABC5 解：如图所示，对于 A 选项取 AD 的中点 M，连接 PM，BM，连接对角线 AC，BD 相交于点 O 侧面 PAD 为正三角形，.又底面 ABCD 为菱形，=60，是等边三角形 .又 =，PM、平面.平面 PMB，因此 A 正确 对于 B 选项由 A 可得：平面 PMB，平面 PMB，异面直线 AD 与PB 所成的角为90，正确 对于 C 选项平面 平面=，/，平面 PBM，又 PB，平面 PBM，是二面角 的平面角，设=1，则=32=，在 中，tan=1，=45，因此 C 正确 对于 D
9、选项由平面 平面 ABCD，平面 平面=，平面 ABCD，平面 PAD，平面 PAD，则 ，若 平面 PAC，平面 PAC，则 ，显然不可能，因此 D 错误 13.【答案】-5 14.【答案】7 解：=2=，=12 sin=12 2 32=3 3，解得=6，所以2=2+2 2cos=36+4 2 6 2 12=28，=2 7，sinsin=2 72=7，6 15.【答案】93 2 解：六棱柱的体积为：6 12 3 3 60 2=93，圆柱的体积为：(0.5)2 2=2，所以此六角螺帽毛坯的体积是：(93 2)3，16.【答案】40 2 【解析】因为母线 SA，SB 所成角的余弦值为 78，所以
10、母线 SA，SB 所成角的正弦值为158，因为SAB的面积为5 15，设母线长为,l 所以221155 15,8028ll=，因为 SA 与圆锥底面所成角为 45，所以底面半径为2cos,42rll=因此圆锥的侧面积为2240 2.2rll=17.【答案】解：(1)因为=(2,4)，=(2,)，+=(0,4+)，(+)，=(1,3)，(+)=3(4+)=0，=4 =(2,4)，|=25（5 分）(2)由已知：+=(2,3+4)，2 =(0,2)，(2)2 0 (3+4)=0，=2（10 分）18.【答案】解：(1)由题意知=200.08=250，=250 20 30 40 20=140（4 分
11、）(2)计算可得样本中的数据落在每个区间的频率分别为，0.08，0.12，0.56，0.16，0.08，（6分）所以农户种植中药材所获纯利润的平均值为 2 0.08+4 0.12+6 0.56+8 0.16+10 0.08=6.08(万元)（8 分）前 2 组的频率为0.2 0.5，7 样本的中位数在第三组，设样本的中位数=5+0.50.080.12056 2=8514(万元)（10 分）第 80 百分位数=7+0.80.080.120.56016 2=7.5(万元)（12 分）19.【答案】（1）在 ABCV中，sinsinACABABCC=，sinsinBDABCaC=Q，sinsinBD
12、aCABC=，联立 得 ABACBDa=，即 acb BD=，2bac=Q，BDb=（3 分）（2）因为3ACDC=，ABCV中，222cos2abcCa b+=，2223cos23babCba+=BCDV中，Q=，()22222233babcab+=+，整理得222222333babcab+=+，（7 分）22211203abc+=，2bac=Q，2261130aacc+=，即3ca=或32ac=，（8 分）若3ca=时，223cbac=，则222cos2acbABCa c+=22229323cccc+=227923cc=76=（舍），（10 分）若32ac=，2232bacc=，则222c
13、os2acbABCa c+=222293423cccc+=22743cc=712=.（12 分）8 20【答案】（）如图，过点 D 作 DOAC，交直线 AC 于点O，连结 OB由45ACD=，DOAC得2CDCO=，由平面 ACFD平面 ABC 得 DO平面 ABC，所以 DOBC.由45ACB=，1222BCCDCO=得 BOBC.所以 BC平面 BDO，故 BCDB由三棱台 ABCDEF得 BCEF，所以 EFDB.（6 分）（）过点O 作OHBD，交直线 BD 于点 H，连结CH.由三棱台 ABCDEF得 DFCO，所以直线 DF 与平面 DBC 所成角等于直线 CO 与平面DBC 所
14、成角.由 BC 平面 BDO 得OHBC，故OH 平面 BCD，所以OCH为直线 CO与平面 DBC 所成角.设2 2CD=.由2,2DOOCBOBC=，得26,33BDOH=，所以3sin3OHOCHOC=，因此，直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值为33.（12 分）21.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，0.020+0.014+0.004+0.002+0.025=0.065，由10 (0.065+)=1，解得=0.035，（2 分）设总共调查了 x 个人，则专项心理等级为一般的为10 (0.014+0.020)=680，解得=2000，（3 分）专项心理等级为有隐患的人数为10
15、 (0.004+0.002)2000=120，（4 分）(2)依题意，老年人抽 4 人，中青年抽 2 人，（5 分）设中青年人记为 A，B，老年人记为 a，b，c，d，从 6 人中再随机抽 2 人，可能有(,)，(,)，(,)，(,)，(,)，(,)，(,)，9 (,)，(,)，(,)，(,)(,)，(,)，(,)，(,)共 15 种，（7 分）至少有一位老年人被抽到的情况有共 14 种，概率为=1415，(8 分)(3)由频率分布直方图可得：45 0.02+55 0.04+65 0.14+75 0.2+85 0.35+95 0.25=80.7，（10 分）估计市民心理健康问卷的平均得分为80
16、.7，所以市民心理健康指数为80.7100=0.807 0.8，（11 分）所以只需发放心理指导材料，不需要举办大讲堂活动（12 分）22.【答案】（1）ABAD=Q，O 为 BD 中点，AOBD，AO Q面 ABD，面 ABD 面 BCD 且面 ABD I 面 BCDBD=，AO 面 BCD，AOCD（4 分）(2)过点 E 作 EN/AO 交 BD 于 N.过点 N 作 NM/CD 交 BC 干点 M，连 接 ME.因为EN/AO 且由(1)知 AOBCD 面 所以.,32,2342634234 32 331Sin21 42BCDENBCDENBCBCDOBODOCBCCDNMCDMNBCBCMNEBCMEEMNEBCDMNENDEAE ENAOENDNAODOMNBNMNCDCDDBCDMNENOASBD CDBDC=VVQQPQPQPQ面在中，面为所求的二面角的平面角EMN=60322 321 2 3 2 343A BCDV=