1、厦门外国语学校 2020 届高考模拟测试数学（理）试卷1.一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数22(1)1ii 的共轭复数是（B）A.1 3iB.1 3iC.1 3i D.1 3i 2.已知集合220,Ax xxxR，224,Bx xyxR yR，则 AB（B）A.2,0B.2,0C.0,2D.0 2，3“lnlnxy”是“1132xy”的（A）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 30 名学生参加环保知识竞赛，得分（10 分制）的 频
2、数分布表如表：设得分的中位数为em，众数为0m，平均数为 x，则（D）A.0emmxB.0emmxC.0emmxD.0emmx【详解】由图知，众数是05m；中位数是第 15 个数与第 16 个数的平均值，由图知将数据从大到小排第 15 个数是 5，第 16 个数是 6，所以中位数是565.52em；平均数是12 33 4 10 56 63 72 82 92 10630 x ；0emmx5.已知不等式201xax的解集为(2,1)，则二项式621axx展开式的常数项是（B）A 15B15C 5D56函数 2e2xf xxx的图象大致为（B）Oxy11Oxy11y1O1xOxy11ABCD7已知C
3、 是以 AB 为直径的半圆弧上的动点，O 为圆心，P 为OC 中点，若4AB，则PAPBPCA2B1C 2D4（C）8为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市将垃圾分为四类：可得分345678910频数231063222回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由 9 位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有 3 位同学，其余三个宣传小组各有 2 位同学现从这 9 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为(D)A 27B 37C 821D10219已知函数 sinsincosfxxxx（0），若函数 fx 的图象
4、与直线1y 在0,上有 3 个不同的交点，则 的取值范围是（C）A 1 3,2 4B 1 5,2 4C 5 3,4 2D 5 5,4 2【解析】1 cos2121sinsincossin 2sin 222242xf xxxxxx，fx 的图象与直线1y 在0,上有 3 个不同交点，即方程2sin 242x在0,上有3 个实根，由0,x得2,2444x，所以 9112444，解得 5342.10在正方体1111ABCDA B C D中，过点 D 作直线l 与异面直线 AC 和1BC 所成角均为，则 的最小值为（B）A 15B 30C 45D 6011.已知正项数列 na中，2221211111,
5、2,22,nnnnnnaaaaanbaa，记数列 nb的前 n 项和为nS，则33S的值是（D）A 99B 33C 4 2D312数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为32222xyx y给出下列四个结论：曲线C 有四条对称轴；曲线C 上的点到原点的最大距离为 14；曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为 18；四叶草面积小于 4 其中，所有正确结论的序号是（C）ABCD【解析】当 x 变为x时，32222xyx y不变，四叶草图象关于 y 轴对称；当 y 变为y 时，32222xyx y不变，四叶草图象关于 x 轴对称
6、；当 y 变为 x 时，32222xyx y不变，四叶草图象关于 yx轴对称；当 y 变为x时，32222xyx y不变，四叶草图象关于yx 轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；32222xyx y，222322222xyxyx y，2214xy，2212xy，取等号时2218xy，最大距离为 12，故错误；设任意一点,P x y，围成的矩形面积为 xy，32222xyx y，3322222x yxyxy，18xy，取等号时24xy，围成矩形面积的最大值为 18，故正确；由可知2214xy，四叶草包含在圆2214xy的内部，圆的面积为：144S，四叶草的面积小于 4，故正确，故选 C第卷（
7、非选择题共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知nS 是等差数列na的前 n 项和，若54510Sa，则数列na的公差为214.已知双曲线22221xyab(0,0)ab的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一点，若PAB为等腰三角形，120PAB，则双曲线的离心率为_.215.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多
8、块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数()f x 满足(4)()fxf x，且当0,2x时的解析式为22log(2),01,()log,12xxf xxx，则函数(yf x）在0,4x时的图像与直线1y 围成封闭图形的面积是_ 416.已知长方体1111ABCDA B C D，32AB，2AD，12 3AA，已知 P 是矩形 ABCD 内一动点，1PA 与平面 ABCD 所成角为 3，设 P 点形成的轨迹长度为，则 tan _；当1C P 的长度最短时，三棱锥1DDPC的外接球的表面积为_.(1).3 7(2).292【详
9、解】因为长方体1111ABCDA B C D中1AA 平面 ABCD，所以1PA 与平面 ABCD 所成角为1APA,因为1PA 与平面 ABCD 所成角为 3，所以13APA因为12 3AA，所以2AP 从而 P 点形成 的轨迹为以 A 为圆心，2 为半径的圆在矩形 ABCD内一段圆弧 DM，设其圆心角为，则3332sintan247因此2322tan7tantan 23 791 tan17 因为2211C PCCCP,所以CP 最小时，1C P 长度最短，此时P为AC与上面圆弧 DM 的交点,设DPC外接圆圆心为1O，半径为 r，222224cos532()2ADADCADACADDC则3
10、3222sinsin()cos222CDrCADCADCPD2299954441cos48cos12252rCADCAD设三棱锥1DDPC的外接球的球心为O，半径为 R,从而222211529388ROOO C因此球的表面积为22942R三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 22 cosacbC.（1）求证：三内角 A，B，C 成等差数列；（2）若3b，求ABC的周长的最大值.【解析】（1）由正弦定理得：2sinsin2sincosACBC2sinsin2sincosBCCBC即 2c
11、ossinsinBCC0,C1cos2B0,B3B又 ABC即：33ABC2BAC，也即 A，B，C 成等差数列（2）由3b，3B及余弦定理得2222cosabcacB，即22222223324acacbacacacacac，22412acb，2 3ac，当且仅当3ac时，等号成立，因此，ABC的周长的最大值为3 3.18.已知椭圆C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆C 与直线324xy相切于点1(3,)2A.（1）求椭圆方程；（2）已知点,M N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，记AP AQ ，求 的取值范围.【解析】（1）2214xy（2）设 00,P xy，则00,Qxy，有22001
12、4xy，即220044xy，则0000113,3,22AP AQxyxy 222000133344xyy，又因为200,1y，所以2033 93,44 4y.19：四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，侧面 PAD 底面 ABCD，60BCD，2PAPD，E 是 BC 中点，点Q 在侧棱 PC 上（1）若Q 是 PC 中点,求二面角 EDQC的余弦值；（2）是否存在Q,使/PA平面 DEQ？若存在，求出 PQPC的值；若不存在，说明理由【解析】（1）取 AD 中点 O，连结,OP OB BD，因为 PAPD,所以 POAD，因为菱形 ABCD 中，60BCD，所以 ABB
13、D，所以 BOAD因为 BOPOO,且,BO PO 平面 POB,所以 AD 平面 POB，所以 ADPB因为平面 PAD 平面 ABCD，且平面 PAD 平面 ABCDAD,所以 PO 平面 ABCD 以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系Oxyz则1,0,0D,1,3,0,0,0,1,2,3,0EPC因为Q 为 PC 中点，所以3 11,22Q所以0,3,0DE,3 10,22DQ,所以平面 DEQ 的法向量为11,0,0n因为1,3,0DC ,3 10,22DQ,设平面 DQC 的法向量为2,x y zn，则2200DCDQnn,即3031022xyyz 令3x，则1,3yz，即23,
14、1,3n，所以12121221cos,7n nn nnn由图可知，二面角 EDQC为锐角，所以余弦值为217（2）设2,3,PQPC ,所以231xyz ，即 2,3,1Q 所以在平面 DEQ 中，0,3,0,12,3,1DEDQ,所以平面 DEQ 的法向量为11,0,21n，又因为 PA平面 DEQ,所以10PAn，即 11 210，解得23所以当23时，PA平面 DEQ 20.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.某地区 2019 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立
15、定跳远、掷实心球、1 分钟跳绳三项测试，三项考试满分为 50 分，其中立定跳远 15 分，掷实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了 100 名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数165,175175,185185,195195,205205,215得分1617181920（）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 33 分的概率；（）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布2,N ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差（结果四舍五入到整数）
16、，已知样本方差277.8S（各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，利用现所得正态分布模型：（）预估全年级恰好有 1000 名学生，正式测试时每分钟跳 193 个以上的人数.（结果四舍五入到整数）（）若在该地区 2020 年所有初三毕业生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 202 个以上的人数为，求随机变量 的分布列和期望.附：若随机变量 X 服从正态分布2,N ，77.89，则0.6826PX，220.9544PX，330.9974PX解：（
17、）由题意可知，得 16 分的人数为 5 人，得 17 分的人数为 9 人，两人得分之和不大于 33 分，即两人得分均为 16 分，或两人中 1 人 16 分，1 人 17 分.所以，两人得分之和不大于 33 分的概率为：2115592100190CC CPC.（）170 0.05 180 0.09 190 0.5200 0.3210 0.06192.3192X（个）又277.8，9，所以正式测试时，202，9.193，211.（）1 0.682619310.84132P ，0.8413 1000841.3841（人）.（）由正态分布模型，在该地区 2020 年初三毕业生中任取 1 人，每分钟跳
18、绳个数 202 以上的概率为 12，即13,2B.030311101228PC ，21311311228PC，22311321228PC ，303311131228PC ，的分布列为0123P18383818 13322 E.21.已知函数 1xf xeax（1）讨论 f x 的单调性；（2）设 11,A x y，22,B xy，33,C xy，123xxx是曲线 yf x上任意三点，求证：21312131f xf xf xf xxxxx【详解】（1）函数 f x 的导函数为 xfxea，当0a 时，0fx恒成立，f x 在 R 上单调递增；当0a 时，由 0fx知lnxa，所以 f x 在,
19、ln a上单调递减，在ln,a 上单调递增（2）由题可知：要证21312131f xf xf xf xxxxx，需证32112131xxxxeeeexxxx，即需证311121213111xxxxxxeeeexxxx设211xxt，312xxt，则需证：当120tt时，121211tteett，设 10teg ttt，则 211tetg tt，设 11th te t，则 0th tte，所以 h t 在0,单调递增，所以 00h th，于是 0g t，g t 在其定义域内单调递增，所以，当 12tt时，121211ttettt所以不等式21312131f xf xf xf xxxxx成立.请从
20、下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。22以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为sin4，将曲线 C1绕极点逆时针旋转 32 后得到曲线 C2（）求曲线 C2的极坐标方程；24sin()3（）若直线)(:Rl与 C1，C2分别相交于异于极点的 A，B 两点，求 AB 的最大值.4 323.已知函数 1f xx.（1）求不等式 423fxx的解集；02xx（2）若正数 m、n满足2mnmn，求证：28f m
21、fn.备用：11已知函数 f x 满足 221 lnx fxxf xx，1f ee，当0 x 时，下列说法正确的是 f x 只有一个零点；f x 有两个零点；f x 有一个极小值点；f x 有一个极大值点ABCD21已知xxxfsin31)(3.（1）求证：)(xf的恰有 3 个零点；（2）若2cosaxxaxe在2,0 上恒成立，求实数 a 的取值范围.解：（1）)(xf为R，)()(xfxf-，则)(xf为奇函数，且0)0(f，0 x时，xxxfcos)(2，令)()(xfxg，则xxxgsin2)(，当),0(x时，0)(xg；当),x时，22 x，1,1sinx，即012)(xg；xx
22、xfcos)(2在),0(上单调递增.又01)0(f，04)2(2 f)2,0(0 x，使得0)(0 xf，且),0(0 xx时，0)(xf;)(0，xx时，0)(xf，即)(xf在),0(0 x上单调递减，在)(0，x上单调递增，又021663121631)6(3333f，031)(3 f，),6(0t，使得0)(0 tf，且),0(0tx时，0)(xf，)(0，tx时，0)(xf，)(xf有 3 个零点，分别为00 0tt，.（2）2,0 x，1)cos(cos22xxxxaaxxaee，令xxxxhe)cos()(2，2,0 x，xxxxxxhecossin2)(2，再令xxxxxcos
23、sin2)(2，xxxxsincos22)(，则0cossin2)(xxx，即)(x在2,0 上单调递减.又03)0(，01)2(-，故)2,0(0 x，使得0)(0 x，且),0(0 xx时，0)(x;)2(0，xx时，0)(x，)(x在在),0(0 x上单调递增，在)2(0，x上单调递减，0)2(),0(min)(x，即0)(xh，)(xh在2,0 上单调递增.当0a时，xxxaye)cos(2 在2,0 上单调递增，则1224ea，即2204e a，当0a时，10)cos(2xxxae恒成立，当0a时，xxxaye)cos(2 在2,0 上单调递减，则1a-，即01a，综上，a 的取值范围为,1224e.