1、6.2垂直关系的性质课后篇巩固探究A组基础巩固1.若直线a平面,b,则a与b的关系是() A.ab,且a与b相交B.ab,且a与b不相交C.abD.a与b不一定垂直解析a与b垂直,但可能相交,也可能异面.答案C2.ABC所在的平面为,直线lAB,lAC,直线mBC,mAC,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.不确定解析因为lAB,lAC且ABAC=A,所以l平面ABC.同理可证,m平面ABC,所以lm,故选C.答案C3.设平面平面,且=l,直线a,直线b,且a不与l垂直,b不与l垂直,则a与b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不
2、可能垂直,也不可能平行解析当a,b都平行于l时,a与b平行.假设a与b垂直,如图所示,由于b与l不垂直,在b上任取一点A,过点A作bl.平面平面,b平面,ba,又由假设ab易知a平面,从而al,这与已知a不与l垂直矛盾,故假设不正确,即a与b不可能垂直.答案B4.以等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线CD为棱,将ABC折叠,使平面ACD平面BCD,则AC与BC的夹角为()A.30B.60C.90D.不确定解析如图所示,令CD=AD=BD=1,则AC=BC=.平面ACD平面BCD,ADCD,且平面ACD平面BCD=CD,ADBD,AB=,ACB=60.答案B5.下列命题错误的是()A.如果平面平
3、面,那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面解析若平面平面,则在平面内与面的交线不相交的直线平行于平面,故A正确;若内存在直线垂直于平面,则,与题设矛盾,所以B正确;由面面垂直的性质知选项C正确.故选D.答案D6.如图所示,已知ADEF的边AF平面ABCD,若AF=2,CD=3,则CE=.解析AF平面ABCD,AFDE,DE平面ABCD,CD平面ABCD.DECD.DE=AF=2,CD=3,CE=.答案7.已知直线m,n与平面与,若m,n,且,则直线m
4、,n的位置关系是.解析由,n,得n或n,又m,所以直线m,n的位置关系为相交、平行或异面.答案相交、平行或异面8.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=,平面PAB平面ABC,ABC=90,AC=8,BC=6,则PC=.解析取AB的中点E,连接PE.PA=PB,PEAB.又平面PAB平面ABC,PE平面ABC.连接CE,PECE.ABC=90,AC=8,BC=6,AB=2,PE=,CE=,PC=7.答案79.(2018全国卷,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理
5、由.解(1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.B组能力提升1.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面上,且ACPC,平面PAC平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是()A
6、.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆但要去掉两个点解析平面PAC平面PBC,ACPC,AC平面PAC.且平面PAC平面PBC=PC,所以AC平面PBC.又BC平面PBC,所以ACBC,动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A,B两点.答案D2.在三棱锥A-BCD中,若ADBC,BDAD,BCD是锐角三角形,则必有()A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABCC.平面ADC平面BCDD.平面ABC平面BCD解析因为ADBC,ADBD,BCBD=B,所以AD平面BCD.又AD平面ADC,所以平面ADC平面BCD.答案C3.如图所示,RtABC中,ACB=90,直线l过点A且垂直于
7、平面ABC,动点Pl,当点P逐渐远离点A时,PCB的大小()A.变大B.变小C.不变D.有时变大,有时变小解析l平面ABC,BCl,BCCA,ACl=A,BC平面ACP,BCCP,即PCB=90.答案C4.,是两个不同的平面,m,n是平面与之外的两条不同直线,给出四个论断:mn;n;m.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.解析利用面面垂直的判定,可知为真;利用面面垂直的性质,可知为真.答案若,则(或若,则)5.已知平面平面,在,的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面和内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为 cm
8、.解析如图所示,连接AD,CD.在RtABD中,AB=4,BD=12,AD=4(cm).又,CAAB,CA,CA,CAAD.CAD为直角三角形.CD=13(cm).答案136.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别为CD和PC的中点.求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.证明(1)平面PAD底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,PA底面ABCD.(2)ABCD,CD=2AB,E为CD的中点,ABDE,且AB=DE.四边形ABED为平行四边形,BEAD,BE平面PAD,A
9、D平面PAD,BE平面PAD.(3)ABAD,且四边形ABED为平行四边形,BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,PACD,PAAD=A,CD平面PAD.CDPD.E和F分别是CD和PC的中点,PDEF,CDEF,BEEF=E,CD平面BEF.CD平面PCD,平面BEF平面PCD.7.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,SD平面ABCD,ABDC,ADDC,AB=AD=1,SD=2,BCBD,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC.求证:(1)DE平面SBC;(2)SE=2EB.证明(1)SD平面ABCD,BCSD.又BCBD,BDSD=D,BC平面BDS.BCDE.作BKEC,K为
10、垂足.平面EDC平面SBC,故BK平面EDC,BKDE.又BK平面SBC,BC平面SBC,BKBC=B,DE平面SBC.(2)由(1)知DESB,DB=AD=,SB=,DE=,EB=,SE=SB-EB=,SE=2EB.8.导学号91134024如图所示,在四棱锥P-ABCD中,G为AD的中点,底面ABCD是边长为a的菱形,且DAB=60,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)求证:BG平面PAD;(2)求证:ADPB;(3)若E为BC的中点,能否在棱PC上找一点F,使得平面DEF平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明在菱形ABCD中,DAB=60,G为AD的中点,BGA
11、D.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BG平面PAD.(2)证明如图所示,连接PG,则PGAD,由(1)得BGAD,又PGBG=G,BG平面PBG,PG平面PBG,AD平面PBG.PB平面PBG,ADPB.(3)解当F为PC的中点时,满足平面DEF平面ABCD.证明如下:取PC的中点F,连接DE,EF,DF,则在PBC中,EF为中位线,则EFPB.EF平面DEF,PB平面DEF,PB平面DEF.在菱形ABCD中易得GBDE.DE平面DEF,BG平面DEF,BG平面DEF.PBGB=B,平面DEF平面PGB.又侧面PAD为正三角形,G为AD的中点,PGAD.又侧面PAD所在平面垂直于底面ABCD,PG平面ABCD,而PG平面PGB,平面PGB平面ABCD.故平面DEF平面ABCD.
