1、2017年高考数学基础突破集合与函数2函数的概念及其表示（学生版，后附教师版）【知识梳理】1函数与映射的概念函 数映 射两集合A、B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名 称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记 法yf(x)(xA)对应f：AB是一个映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫
2、做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法: 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数4常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域为R(4)yax(a0且a1)，
3、ysin x，ycos x，定义域均为R(5)ytan x的定义域为.5基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是R(2)yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为；当a0时，值域为(3)y(k0)的值域是y|y0(4)yax(a0且a1)的值域是y|y0(5)ylogax(a0且a1)的值域是R(6)ysin x，ycos x的值域是1，1(7)ytan x的值域是R【基础考点突破】考点1. 函数的基本概念【例1】Mx|0x2，Ny|0y3，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A0个B1个 C2个 D3个变式训练1. 试判断下列各组中的函数f(x)与g(
4、x)是否表示同一个函数，并说明理由(1)f(x)(x1)0，g(x)1； (2)f(x)x，g(x)；(3)f(x)x2，g(x)(x1)2； (4)f(x)|x|，g(x).考点2. 分段函数【例2】 若函数，(1)求f(5)，f()，ff()的值；(2)若f(a)3，求a的值变式训练2.（1）【2016年高考北京理数】设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.（2）作出函数y2|x1|3|x|的图象考点3. 求函数解析式【例3】 (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)6，求f(x)的解析式； (2)一次函数yf(x)，f(1)1，f(1)3，求f(3)变式训练3. 已
5、知f(1)，试求f(x)考点4. 函数的定义域【例4】 求函数的定义域变式训练4.（1）【2016高考江苏卷】函数的定义域是 .（2） 函数f(x)的定义域为()A(，0 B(，0) C. D考点5. 函数的值域【例5】 求函数的值域变式训练5. 求函数f(x)x的值域【基础练习】1下列四组式子中，f(x)与g(x)表示同一函数的是()Af(x)4，g(x)(4)4 Bf(x)x，g(x)Cf(x)x，g(x)()2 Df(x)，g(x)x22已知f(x)x2x1，则ff(1)的值是()A11B12C13D103函数y的定义域是()A(0，) B(，0)C(，1)(1,0) D(，1)(1,0
6、)(0，)4函数yx22x的定义域为0,1,2,3，则其值域为()A1,0,3 B0,1,2,3 Cy|1y3 Dy|0y35已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1234f(x)3241A.1B2 C3 D46已知f(1)2x3，且f(m)6，则m等于()A B. C. D7等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则()Ay10x(0x10) By10x(0x10) Cy202x(5x10) Dy202x(5x10)8已知函数，则f(2)等于()A0 B. C1 D29函数f(x)x的图象是()10函数f(x)的值域是()A0，) BR C0,3 D0,2311已知a、b
7、为实数，集合M，1，Na,0，f：xx表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则ab的值为()A1 B0 C1 D112已知映射f：AB，其中集合A3,2,1,1,2,3,4，集合B中的元素都是集合A中某个元素在映射f下对应的元素，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是()A4 B5 C6 D713设a0且a1)，ysin x，ycos x，定义域均为R(5)ytan x的定义域为.5基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是R(2)yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为；当a0时，值域为(3)y(k0)的值域是y|y0(4)yax(a0且a
8、1)的值域是y|y0(5)ylogax(a0且a1)的值域是R(6)ysin x，ycos x的值域是1，1(7)ytan x的值域是R【基础考点突破】考点1. 函数的基本概念【例1】Mx|0x2，Ny|0y3，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A0个B1个 C2个 D3个【答案】C【解析】用xa,0a2动直线去截图象，哪个始终只有一个交点，哪个就表示具有函数关系由图可知，图(2)(3)都具有这一性质，而(1)(4)则不具有这一性质，所以有2个具有函数关系变式训练1. 试判断下列各组中的函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由(1)f(x)(x1)0，g
9、(x)1； (2)f(x)x，g(x)；(3)f(x)x2，g(x)(x1)2； (4)f(x)|x|，g(x).【解】(1)f(x)的定义域是x|xR，且x1，g(x)的定义域是R，它们的定义域不同，故不是同一个函数；(2)定义域相同都是R，但是g(x)|x|，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数；(3)定义域相同都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数；(4)定义域相同都是R，解析式化简后都是y|x|，也就是对应关系相同，故是同一个函数考点2. 分段函数【例2】 若函数f(x)(1)求f(5)，f()，ff()的值；(2)若f(a)3，求a的值
10、【解析】(1)f(5)523，f()()23，ff()f(3)236.(2)若a23，则a12不成立，舍去； 若a23，则a，22成立； 若2a3，则a2不成立，舍去变式训练2. （1）【2016年高考北京理数】设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.【答案】，.【解答】解：若a=0，则，则，当x1时，此时函数为增函数；当x1时，此时函数为减函数，故当时，的最大值为2.，令，则x=1，若f（x）无最大值，则，或，解得：（2）作出函数y2|x1|3|x|的图象【解析】当x0时，y2(x1)3xx2； 当0x1时，y2(x1)3x5x2； 当x1时，y2(x1)3xx2， 因
11、此，依上述解析式作出图象如下图考点3. 求函数解析式【例3】 (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)6，求f(x)的解析式； (2)一次函数yf(x)，f(1)1，f(1)3，求f(3)【解析】(1)设反比例函数f(x)(k0)，则f(3)6，解得k18，故f(x).(2)设一次函数f(x)axb(a0)，f(1)1，f(1)3，解得，f(x)2x1. f(3)2315.变式训练3. 已知f(1)，试求f(x)【解析】解法一：(换元法)令t1，则t(，1)(1，)，于是x，代入中，可得f(t)t2t1，即f(x)x2x1，x(，1)(1，)解法二：(配凑法)f(1)(1)2(1)1，因为11
12、，所以函数解析式为f(x)x2x1，x(，1)(1，)考点4. 函数的定义域【例4】 求函数的定义域【解析】要使函数解析式有意义，由解得x1且x2，所以函数定义域为x|x1且x2变式训练4.（1）【2016高考江苏卷】函数的定义域是 .（2）函数f(x)的定义域为()A(，0 B(，0) C. D【解析】（1）要使函数有意义，必须，即，故应填：，（2）要使函数有意义，应满足解得x0，故选A.考点5. 函数的值域【例5】 求函数yx22x(x0，3)的值域【解析】(1)(配方法)yx22x(x1)21，因为y(x1)21在0，3上为增函数，所以0y15，即函数yx22x(x0，3)的值域为0，1
13、5变式训练5. 求函数f(x)x的值域解: 法一：(换元法)令t，则t0且x，于是yt(t1)21，由于t0，所以y，故函数的值域是.法二：(单调性法)f(x)的定义域为，容易判断f(x)为增函数，所以f(x)f，即函数的值域是.【基础练习】1下列四组式子中，f(x)与g(x)表示同一函数的是()Af(x)4，g(x)(4)4 Bf(x)x，g(x)Cf(x)x，g(x)()2 Df(x)，g(x)x2答案：B解析：A、C、D定义域不同，B定义域、对应关系、值域都相同2已知f(x)x2x1，则ff(1)的值是()A11B12C13D10解析：ff(1)f(3)93113.答案：C3函数y的定义
14、域是()A(0，) B(，0)C(，1)(1,0) D(，1)(1,0)(0，)解析：由题知x0且x1，即定义域为(，1)(1,0)答案：C4函数yx22x的定义域为0,1,2,3，则其值域为()A1,0,3 B0,1,2,3Cy|1y3 Dy|0y3解析：x0，y0；x1，y1；x2，y0；x3，y3，值域为1,0,3答案：A5已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1234f(x)3241A.1B2 C3 D4答案：D6已知f(1)2x3，且f(m)6，则m等于()A B. C. D解析：令2x36，得x，所以m11，或先求f(x)的解析式，再由f(m)6，求m.答案：A7等腰三角
15、形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则()Ay10x(0x10) By10x(0x10)Cy202x(5x10) Dy202x(5x10)解析：2xy20，y202x，解不等式组，得5x10.答案：D8已知函数，则f(2)等于()A0 B. C1 D2解析：f(2)1.答案：C9函数f(x)x的图象是()解析：f(x)画出f(x)的图象可知选C.答案：C10函数f(x)的值域是()A0，) BR C0,3 D0,23答案：D11已知a、b为实数，集合M，1，Na,0，f：xx表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则ab的值为()A1 B0 C1 D1解析：f：xx，MN. 解得a1
16、，b0.ab1.答案：C12已知映射f：AB，其中集合A3,2,1,1,2,3,4，集合B中的元素都是集合A中某个元素在映射f下对应的元素，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是()A4 B5 C6 D7解析：|3|3，|2|2，|1|1，|4|4，B1,2,3,4答案：A13设ab，函数y(xa)2(xb)的图象可能是()解析：由于f(a)0，f(b)0，则函数的图象过点(a,0)，(b,0)当xb时，则xb0，此时f(x)0，即在区间(，a)(a，b)上，函数的图象位于x轴下方，排除A、B、D.答案：C14下图中能表示函数关系的是_解析：(3)中元素2对应着
17、两个元素1和3，不符合函数定义(1)、(2)、(4)均符合函数定义答案：(1)(2)(4)15设f(x)，则ff(x)_.解析：ff(x)f().答案：16函数yx24x6，x1,5)的值域是_解析：画出函数的图象，如右图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是f(2)，f(5)，即函数的值域是2,11)答案：2,11)17设函数f(x)则f(4)_，又f(x0)8，则x0_.解析：f(4)(4)2218；令x228，解得x，x2，x；令2x8，解得x4.综上可知x0或4.答案：184或18设f(x)g(x)则fg()_，gf(2)_.解析：fg()f(2)3217，gf(2)g(7)2.答案：7219已知全集UR，函数y的定义域为A，函数y的定义域为B.(1)求集合A，B；(2)求(UA)(UB)解：(1)函数y应满足x2.Ax|x2函数y应满足x2且x3. Bx|x2且x3(2)UAx|x2，UBx|x2或x3，(UA)(UB)x|x2或x320已知二次函数f(x)满足f(0)0，且对任意xR总有f(x1)f(x)x1，求f(x)解：设f(x)ax2bxc(a0)，f(0)c0，f(x1)a(x1)2b(x1)cax2(2ab)xab，f(x)x1ax2bxx1ax2(b1)x1.f(x)x2x.