1、甘肃省兰州一中2016-2017学年高一（下）期中数学试卷（解析版）一、选择题1、给出以下结论： 互斥事件一定对立对立事件一定互斥互斥事件不一定对立事件A与B互斥，则有P（A）=1P（B）其中正确命题的个数为（ ） A、0个B、1个C、2个D、3个2、从集合a，b，c，d，e的所有子集中，任取一个，所取集合恰是集合a，b，c子集的概率是（ ） A、B、C、D、3、下面程序运行后输出的结果为（ ） A、3B、5C、4D、04、若a1 ， a2 ， a3 ， a20这20个数据的平均数为 ，方差为0.21，则a1 ， a2 ， a3 ， a20 ， 这21个数据的方差为（ ） A、0.19B、0.
2、20C、0.21D、0.225、将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第营区，从201到500住在第营区，从501到600住在第营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ） A、16，26，8B、17，24，9C、16，25，9D、17，25，86、甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ） A、甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B、甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C、甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D、甲的成绩的极差小于乙的
3、成绩的极差7、当点P在圆x2+y2=1上变动时，它与定点Q（3，0）相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是（ ） A、（x3）2+y2=1B、（2x3）2+4y2=1C、（x+3）2+y2=4D、（2x+3）2+4y2=48、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ） A、B、C、D、9、将五进制数324（5）转化为二进制数是（ ） A、1011001（2）B、1110101（2）C、1010101（2）D、1101001（
4、2）10、在AOB中，AOB=60，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，AOC为钝角三角形的概率是（ ） A、0.2B、0.4C、0.6D、0.8二、填空题11、过点A（4，1）的圆C与直线xy1=0相切于点B（2，1），则圆C的方程为_ 12、右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a等于_ 13、如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_ 14、用秦九韶算法求多项式f（x）=x5+3x45x3+7x29x+11，当x=4时的值为
5、_ 三、解答题15、下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据 x3456y2.5344.5(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程 = x+ ； (2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据（1）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：32.5+43+54+64.5=66.5）计算回归系数 ， 公式为 16、静宁县是甘肃苹果栽培第一大县，中国著名优质苹果基地和重要苹果出口基地静宁县海拔高、光照充足、昼夜温差大、环境无污染，适合种植苹果“
6、静宁苹果”以色泽鲜艳、质细汁多，酸甜适度，口感脆甜、货架期长、极耐储藏和长途运输而著名为检测一批静宁苹果，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量）80，85）85，90）90，95）95，100）频数（个）5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在90，95）的频率； (2)用分层抽样的方法从重量在80，85）和95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在80，85）的有几个？ (3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80，85）和95，100）中各有1个的概率 17、甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个甲、
7、乙二人依次各抽一题 (1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 18、节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300分组的频率分布直方图如图 (1)求直方图中x的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)估计用电量落在220，300）中的概率是多少？ 19、如图，已知圆C的圆心在直线l：y=2x4上，半径为1，点A（0，3） （）若圆心C也在直线y=x1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（
8、）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的横坐标a的取值范围答案解析部分一、选择题 1、【答案】C 【考点】互斥事件与对立事件 【解析】【解答】解：互斥事件不一定是对立事件，错误； 对立事件一定是互斥事件，正确；互斥事件不一定是对立事件，正确；事件A与B互斥时，则有P（A）1P（B），错误；综上，正确的命题个数是2个故选：C【分析】根据相互独立事件的概率以及互斥事件和对立事件的关系，对题目中的命题进行分析、判断即可 2、【答案】C 【考点】子集与真子集，古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】解：从集合a，b，c，d，e的所有子集中，任取一个， 基本事件总数n=2
9、5=32，所取集合恰是集合a，b，c子集包含听基本事件个数m=23=8，所取集合恰是集合a，b，c子集的概率是p= = 故选：C【分析】基本事件总数n=25=32，所取集合恰是集合a，b，c子集包含听基本事件个数m=23=8，由此能求出所取集合恰是集合a，b，c子集的概率 3、【答案】D 【考点】伪代码 【解析】【解答】解：根据伪代码所示的顺序， 逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 a j循环前/0 1第一圈 是 1 2第二圈 是 3 3第三圈 是 1 4第四圈 是 0 5第五圈 是 0 6第六圈 否故最后输出的a值为：0故选：D【分析】分
10、析程序中各变量、语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出a的值，模拟程序的循环过程，并用表格对程序运行过程中的数据进行分析，即可得到正确的答案 4、【答案】B 【考点】极差、方差与标准差 【解析】【解答】解：a1 ， a2 ， a3 ， a20这20个数据的平均数为 ，方差为0.21， s2= + + + =0.21 + + + =4.2则a1 ， a2 ， a3 ， a20 ， 这21个数据的 ，方差为s2= + + + + = 4.2=0.20故选：B【分析】根据平均数与方差的概念，计算即可得出答案 5、【答案】D 【考点】系统抽样方法 【解析】【解答】解
11、：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人， 则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到200中有17人，在201至500号中共有25人，则501到600中有8人故选：D【分析】依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而得出三个营区被抽中的人数 6、【答案】C 【考点】分布的意义和作用，众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【解答】解： = （4+5+6+7+8）=6， = （5+5+5+6+9）=6，甲的成绩的方差为 （2
12、22+122）=2，以的成绩的方差为 （123+321）=2.4故选：C【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论 7、【答案】A 【考点】轨迹方程 【解析】【解答】解：设动点P（x0 ， y0），PQ的中点为M（x，y）， 可得x= （3+x0），y= y0 ， 解出x0=2x3，y0=2y，点P（x0 ， y0）即P（2x3，2y）在圆x2+y2=1上运动，（2x3）2+（2y）2=1，化简得（2x3）2+4y2=1，即为所求动点轨迹方程故选：A【分析】设动点P（x0 ， y0），PQ的中点为M（x，y），由中点坐标公式解出x0=2x3，
13、y0=2y，将点P（2x3，2y）代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程 8、【答案】C 【考点】几何概型 【解析】【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y， 由题意可得0x4，0y4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|xy|2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为： = 故选C【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0x4，0y4，要满足条件须|xy|2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案 9、【答案】A 【考点】进位制 【解析】【解答】解：324（5）=352+251+450=89（10）892=44144
14、2=220222=110112=5152=2122=1012=01故：89（10）=1011001 （2）故：324（5）=89（10）=1011001（2）故选：A【分析】首先把五进制数字转化成十进制数字，用所给的数字最后一个数乘以5的0次方，依次向前类推，相加得到十进制数字，再用这个数字除以2，倒序取余即可 10、【答案】B 【考点】等可能事件的概率 【解析】【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况第一种ACO为钝角，这种情况的边界是ACO=90的时候，此时OC=1这种情况下，满足要求的0O
15、C1第二种OAC为钝角，这种情况的边界是OAC=90的时候，此时OC=4这种情况下，满足要求4OC5综合两种情况，若AOC为钝角三角形，则0OC1或4OC5概率P= =0.4，故选B【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段，满足条件的事件是组成钝角三角形，包括两种情况，第一种ACO为钝角，第二种OAC为钝角，根据等可能事件的概率得到结果 二、填空题 11、【答案】（x3）2+y2=2 【考点】圆的标准方程 【解析】【解答】解：直线xy1=0的斜率为1， 过点B直径所在直线方程斜率为1，B（2，1），此直线方程为y1=（x2），即x+y3=0，设圆心C坐标
16、为（a，3a），|AC|=|BC|，即 = ，解得：a=3，圆心C坐标为（3，0），半径为 ，则圆C方程为（x3）2+y2=2故答案为：（x3）2+y2=2【分析】求出直线xy1=0的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为1求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程，根据直线方程设出圆心C坐标，根据|AC|=|BC|，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出C坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可 12、【答案】2 【考点】程序框图 【解析】【解答】解：由a=14，b=18，ab， 则b变为1814=4，由ab，则a变为144=10，由ab，则a变为104=6，由ab，则a变为64
17、=2，由ab，则b变为42=2，由a=b=2，则输出的a=2故答案为2【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论 13、【答案】【考点】茎叶图，众数、中位数、平均数 【解析】【解答】解：由已知中的茎叶图可得 甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩： （88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩： （83+83+87+99+90+x）=88.4+ ，当x=9，甲的平均数乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为 ，当x=8，甲的
18、平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为 ，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1 = 故答案为： 【分析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案 14、【答案】1559 【考点】中国古代数学瑰宝 【解析】【解答】解：用秦九韶算法计算多项式f（x）=x5+3x45x3+7x29x+11， 式子改写为f（x）=（x+3）x5）x+7）x9）x+11，当x=4时，f（4）=（4+3）45）4+7）49）4+11=1559故答案为：1559【分析】用秦九韶算法计算多项式f（x）=x5+3x45x3+7x29x+11，式子改
19、写为f（x）=（x+3）x5）x+7）x9）x+11，把x=4代入上式即可得出 三、解答题 15、【答案】（1）解： = =4.5， = =3.5， =32.5+43+54+64.5=66.5，=32+42+52+62=86， = = =0.7，=3.50.74.5=0.35所求的回归方程为 =0.7x+0.35（2）解：现在生产100吨甲产品用煤 =0.7100+0.35=70.35，9070.35=19.65生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤 【考点】回归分析的初步应用 【解析】【分析】（1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本
20、中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程（2）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量 16、【答案】（1）解：苹果的重量在90，95）的频率为 =0.4（2）解：重量在80，85）的有 =1个（3）解：设这4个苹果中，重量在80，85）段的有1个，编号为1 重量在95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有： （1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种设任取2个，重量在80，85）和95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共
21、3种，所以P（A）= = 【考点】频率分布直方图，列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】【分析】（1）用苹果的重量在90，95）的频数除以样本容量，即为所求（2）根据重量在80，85）的频数所占的比例，求得重量在80，85）的苹果的个数（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率 17、【答案】（1）解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 甲从选择题中抽到一题的可能结果有C61个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C41个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有C61C41个；试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题的可能结果有概
22、率为C101C91个，甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为 ，所求概率为 （2）解：甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， 甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为 ，甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为 ，所求概率为 【考点】等可能事件的概率，组合及组合数公式 【解析】【分析】（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题，满足条件的事件是甲从选择题中抽到一题，乙依次从判断题中抽到一题根据分步计数原理知故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果，根据概率公式得到结果（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二
23、人依次都抽到判断题，先做出甲和乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果 18、【答案】（1）解：依题意，20（0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5）=1，解得x=0.007 5（2）解：由图可知，最高矩形的数据组为220，240）， 众数为 =230160，220）的频率之和为（0.002+0.009 5+0.011）20=0.45，依题意，设中位数为y，0.45+（y220）0.012 5=0.5解得y=224，中位数为224（3）解：月平均用电量在220，330）中的概率是p=1（0.002+0.0095+0.011）20=0.
24、55 【考点】频率分布直方图，列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】【分析】（1）由直方图的性质可得20（0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5）=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在220，240）内，设中位数为a，解方程0.45+（y220）0.012 5=0.5可得；（3）月平均用电量在220，330）中的概率是p=1（0.002+0.0095+0.011）20 19、【答案】解：（）由 ，得圆心C（3，2），过点A作圆C的切线斜率存在，设A点的圆C的切线的方程：y=kx+3，即kxy+3=0由
25、题意， ，解得k=0，k= ，所求切线方程为：y=3或3x+4y12=0； （）圆C的圆心在直线l：y=2x4上，圆C的方程设为：（xa）2+（y（2a4）2=1，设M（x，y），由|MA|=2|MO|，可得： ，化简可得x2+（y+1）2=4，点M在以D（0，1）为圆心，2为半径的圆上由题意，点M（x，y）在圆上，圆C和圆D有公共点，则|21|CD|2+1，1 3，即1 ，5a212a+80，可得aR，由5a212a0，可得0 ，圆心C的横坐标a的取值范围： 【考点】直线和圆的方程的应用 【解析】【分析】（）求出圆心C的坐标，设出点A作圆C的切线方程，利用点到直线的距离等于半径，然后求切线的方程；（）设出圆C的方程，点M的坐标，利用|MA|=2|MO|，求出M的轨迹，通过两个圆的位置关系，求圆心C的横坐标a的取值范围