1、提能拔高限时训练23 平面向量的数量积、线段的定比分点与平移一、选择题1.将的图象按向量a=(,-2)平移,则平移后所得图象的解析式为( )A. B.C. D.解法一:按a=(,-2)平移,即向左平移个单位,再向下平移2个单位,得到,即.解法二:由平移公式,得即,即.答案：A2.若点B分的比为,且有,则等于（ ）A.2 B. C.1 D.-1解析：如图,由点B分的比为，则，即，=1.答案：C3.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且ca,则a与b的夹角为（ ）A.30 .60 C.120 D.150解析：ca,ca=0.ac=a(a+b)=0,即a2+ab=0.ab=-|a|2=-1.ab=
2、|a|b|cosa,b,.a,b=120.故选C.答案：C4.向量a=(1,2),b=(-2,3),若ma-nb与a+2b共线(其中m,nR且n0),则等于（ ）A. B. C.-2 D.2解析：ma-nb=(m+2n,2m-3n),a+2b=(-3,8),ma-nb与a+2b共线,8(m+2n)+3(2m-3n)=0,即14m=-7n.答案：A5.在直角坐标平面内,向量,在直线l上的射影长度相等,则l的斜率为（ ）A.2 B. C.3或 D.2或解析：设l的方向向量为(1,k).在(1,k)上射影的长度.在(1,k)上射影的长度.|4+k|=|2-3k|.4+k=2-3k或4+k=3k-2,
3、即或k=3.故选C.答案：C6.已知向量a=(8,),b=(x,1),其中x1,若(2a+b)b,则x的值为（ ）A.0 B.2 C.4 D.8解析：2a+b=(16+x,x+1),b=(x,1),又(2 a+b)b,16+x-x2-x=0.x=4.x1,x=4.故选C.答案：C7.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180,且,则b等于（ ）A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3)解析：设b=(x,y),则y=-2x,又x2+y2=45,a与b的夹角为180.b=(-3,6).故选A.答案：A8.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若ab,则9x+
4、3y的最小值为( )A. B.6 C.12 D.解析：ab,ab=4(x-1)+2y=0.2x+y=2.9x+3y.答案：B9.已知非零向量与满足且,则ABC为（ ）A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形解析：、分别为与、同向的单位向量，且与BAC的平分线共线，又，AB=AC.,0A,.ABC为等边三角形.答案：A10.设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为2,且|b|14,则b为( )A.(2,14) B.(2,) C.(-2,) D.(2,2)解析：由题意,知a与b的夹角为,设b与x轴的夹角为,由a=(4,3),知,得.设b=(x,y)
5、,即.又b在x轴上的投影为2,即,由,得.由得.联立解得x=2.此时.答案：B二、填空题11.已知A、B、C三点共线,且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10,则A点分所得的比为_.解析：设A分的比为,则有,即,.答案：12.已知向量a与b的夹角为120,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=_.解析：|5a-b|2=(5a-b)2=25a2+b 2-10ab=2512+32-1013=49.答案：713.在ABC中,AB=3,AC=2,则等于_.解析：由向量积的定义和余弦定理可以得出,.答案：14.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:若ab= ac,则b=c.若a=(1,k),b=(
6、-2,6),ab,则k=-3.非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60.其中真命题的序号为_.(写出所有真命题的序号)解析：若ab=ac,则a(b-c)=0,此时a(b-c),而不一定b=c,为假.由两向量ab的充要条件,知16-k(-2)=0,解得k=-3,为真.如图,在ABC中,设,由|a|=|b|=|a-b|,可知ABC为等边三角形.由平行四边形法则作出向量a+b=,此时a与a+b成的角为30.为假.综上,只有是真命题.答案：三、解答题15.已知向量a=（),a=(),且x0,.(1)求ab及|a+b|;(2)求函数f(x)= ab-4|a+b|的最小值.解
7、：(1).|a+b|2=a2+b2+2ab.而x0,|a+b|=2cosx.(2)f(x)=ab-4|a+b|=cos2x-42cosx=2cos2x-8cosx-1=2(cosx-2)2-9,x0,cosx0,1.当cosx=1时，f(x)取得最小值f(x)min=212-81-1=-7.16.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b) (2a+b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|和|a-b|;(3)若=a,=b,作ABC,求ABC的面积.解：(1)(2a-3b)(2a+b)=4a2-3b 2-4ab =4|a|2-3|b|2-4ab=442-332-4ab=61,ab=-6
8、,.=120.(2),.(3)S=|a|b|sin120.数学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】已知在ABCD中,点A(1,1),B(2,3),CD的中点为E(4,1),将ABCD按向量a平移,使C点移到原点O.(1)求向量a;(2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解：(1)由ABCD,可得,设C(x3,y3),D(x4,y4),则又CD的中点为E(4,1),则由-,-,得即C(,2),D(,0).a=(,-2).(2)由平移公式,得A(,-1),B(,1),C(0,0),D(-1,-2).【例2】已知在按向量a进行平移后,函数y=ax+n-m(0a1)化简为指数函数,而在按向量b进行平移后,函数y=logaa-4-n(x-m)化简为对数函数,且向量a与b是共线向量,求y=m-n的最大值和最小值.解：由已知,可得a=(n,m),b=(-m,4+n),a与b共线,m(-m)-n(4+n)=0,即m2+n2+4n=0，可看作圆的方程.由y=m-n，得m=y+n，可看作直线，代入m2+n2+4n=0,得2n2+(4+2y)n+y2=0,由=(4+2y)2-8y2=0,得y2-4y-4=0,得,.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m