1、2.6曲线与方程2.6.1曲线与方程1了解曲线与方程的对应关系，理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念(重点、难点)2理解数形结合思想，会处理一些简单的曲线与方程问题(难点)3曲线与方程的对应关系(易错点)基础初探教材整理曲线的方程方程的曲线阅读教材P60例1以上的部分，完成下列问题1方程与曲线的定义在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解满足以下关系：如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)0的解，且以方程f(x，y)0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(
2、x，y)0的曲线2方程与曲线的关系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f(x，y)0就是曲线的方程()(2)如果f(x，y)0是某曲线C的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程()(3)若曲线C上的点满足方程f(x，y)0，则坐标不满足方程f(x，y)0的点不在曲线C上()(4)方程xy20是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程()(5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy1.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)2点A在方程x2(y1)210表示的曲线上，则m_.【解析】据题意，有m2(m1)210，解得m2或
3、.【答案】2或3方程|y|2x|表示的曲线是_【解析】|y|2x|，y2x，表示两条直线【答案】两条直线4已知曲线C的方程为x2xy2y70，则下列四点中，在曲线C上的点有_(填序号)(1,2)；(1，2)；(2，3)；(3,6)【解析】把各点的坐标代入检验知，只有(1,2)满足方程【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型曲线与方程概念的理解(1)判断点A(4,3)，B(3，4)，C(，2)是否在方程x2y225(x0)所表示的曲线上；(2)方程x2(x21)y2(y21)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N
4、在曲线C上，求m，n的值【精彩点拨】由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程【自主解答】(1)把点A(4,3)的坐标代入方程x2y225中，满足方程，且点A的横坐标满足x0，则点A在方程x2y225(x0)所表示的曲线上；把点B(3，4)的坐标代入x2y225，因为(3)2(4)23425，所以点B不在方程x2y225(x0)所表示的曲线上把点C(，2)的坐标代入x2y225，得()2(2)225，满足方程，但因为横坐标不满足x0的条件，所以点C不在方程x2y225(x0)所表示的曲线上
5、(2)因为点M(m，)，N在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m21)21，n2(n21)，解得m，n或.1判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数2判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上再练一题1若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是正确的，则下列命题正确的是_(填序号)方程f(x，y)0的曲线是C；方程f(x，y)0的曲线
6、不一定是C；f(x，y)0是曲线C的方程；以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上【解析】只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答易知错误【答案】由方程确定曲线方程2x2y24x2y30表示什么曲线？【精彩点拨】由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析【自主解答】方程的左边配方得2(x1)2(y1)20，而2(x1)20，(y1)20，2(x1)20，(y1)20，x10且y10，即x1，y1.方程表示点(1，1)曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线
7、方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.再练一题2方程(xy1)0表示什么曲线？【解】方程(xy1)0等价于或x10，即xy10(x1)或x1.故方程表示直线x1和射线xy10(x1).点与曲线的关系及应用(1)点P(a1，a4)在曲线yx25x3上，则a的值是_(2)若曲线y2xy2xk通过点(a，a)，aR，则实数k的取值范围是_【精彩点拨】(1)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得；(2)点(a，a)在曲线上，则点(a，a)适合方程，把k用a表示出来，利用求值域的方法得k的范围【自主解答】(1)因为点P(a1，a4)在曲线yx25x3上，所以a4(a1)25(a1)3，即a
8、26a50，解得a1或5.(2)曲线y2xy2xk通过点(a，a)，a2a22ak，k2a22a22，k，k的取值范围是.【答案】(1)1或5(2)判断点与曲线位置关系的方法如果曲线C的方程是f(x，y)0，点P的坐标为(x0，y0)(1)点P(x0，y0)在曲线C：f(x，y)0上f(x0，y0)0.(2)点P(x0，y0)不在曲线C：f(x，y)0上f(x0，y0)0.再练一题3若点M(m，m)在曲线xy20上，则m的值为_. 【导学号：09390055】【解析】点M(m，m)在曲线xy20上，mm20，解得m0或m1.【答案】0或1探究共研型曲线与方程的关系探究1怎样理解曲线与方程的概念
9、？【提示】定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形探究2理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？【提示】(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可方程(x4y12)(3)log2(x2y)0的曲线经过点A(0，3)，B(0,4)，C，D(8,0)中的_个点【精彩点拨】
10、方程表示两条直线x4y120和x2y80，但应注意对数的真数大于0，即x2y0.【自主解答】由对数的真数大于0，得x2y0.A(0，3)，C不符合要求；将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(8,0)代入方程检验，符合要求【答案】2点与实数解建立了如下关系：C上的点(x0，y0)f(x，y)0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.再练一题4已知直线l：xy30，曲线C：(x1)2(y3)24，若P(1，1)，则点P与l，C的关系是_【解析】由1130，P不在l上，即Pl；又(11)2(13)24，点P在曲线C上，即PC.【答案】Pl，
11、PC构建体系1设方程F(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是_(填序号)坐标满足f(x，y)0的点都不在曲线C上；曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)0；坐标满足f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0.【解析】因为命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0，是正确的，即正确【答案】2f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的_条件. 【导学号：09390056】【解
12、析】f(x0，y0)0，可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上时，有f(x0，y0)0，f(x0，y0)0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件【答案】充要3若P(2，3)在曲线x2ay21上，则a的值为_【解析】P(2，3)在曲线x2ay21上，49a1，解得a.【答案】4如图261中，方程表示图中曲线的是_图261【解析】x2y21表示单位圆，故错；x2y20表示两条直线yx和yx，故错；lg xlg y0可化为xy1(x0，y0)，故错；只有正确【答案】5方程(xy2)0表示什么曲线？【解】(xy2)0变形为x2y290或表示
13、以原点为圆心，3为半径的圆和直线xy20在圆x2y290外面的两条射线我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1如图262所示，方程y表示的曲线是_图262【解析】y所以图满足题意【答案】2方程(xy1)0表示的曲线是_【解析】方程(xy1)0等价于或xy30.即xy10(x2)或xy30，故方程(xy1)0表示射线xy10(x2)和直线xy30.【答案】射线xy10(x2)和直线xy303条件甲“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，条件乙“曲线C是方程f(x，y)0的图形”，则甲是乙的_条件【解析】在曲线的方程
14、和方程的曲线定义中，下面两个条件缺一不可：(1)曲线上点的坐标都是方程的解，(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上很显然，条件甲满足(1)而不一定满足(2)所以甲是乙的必要不充分条件【答案】必要不充分4在平面直角坐标系中，方程|x24|y24|0表示的图形是_【解析】易知|x24|0，|y24|0，由|x24|y24|0，得解得表示的图形为(2,2)，(2，2)，(2,2)，(2，2)四个点【答案】(2,2)，(2，2)，(2,2)，(2，2)四个点5下列命题正确的是_(填序号)方程1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(2,0)，C(2,0)，则中线A
15、O的方程是x0；到x轴距离为5的点的轨迹方程是y5；曲线2x23y22xm0通过原点的充要条件是m0.【解析】对照曲线和方程的概念，中的方程需满足y2；中“中线AO的方程是x0(0y3)”；而中动点的轨迹方程为|y|5，从而只有是正确的【答案】6下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是_(填序号). 【导学号：09390057】y与y2x；yx与1；y2x20与|y|x|；ylg x2与y2lg x.【解析】中y时，y0，x0，而y2x时，x0，yR，故不表示同一曲线；中1时，y0，而yx中y0成立，故不表示同一曲线；中定义域不同，故只有正确【答案】7点A(1，2)在曲线x22xyay50上，
16、则a_.【解析】由题意可知点(1，2)是方程x22xyay50的一组解，即142a50，解得a5.【答案】58已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)0上，则方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的直线是_(填序号)过点P且垂直于l的直线；过点P且平行于l的直线；不过点P但垂直于l的直线；不过点P但平行于l的直线【解析】点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)f(x0，y0)0，因此方程表示的直线过点P.又f(x0，y0)为非零常数，方程可化为f(x，y)f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行【答案】二、解答题9分析下列曲线上的点与方程的关系(1)求第一、三象限两轴夹角平分线
17、上点的坐标满足的关系；(2)作出函数yx2的图象，指出图象上的点与方程yx2的关系；(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|2之间的关系【解】(1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，即yx.l上点的坐标都是方程xy0的解；以方程xy0的解为坐标的点都在l上(2)函数yx2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标都满足方程yx2，即方程yx2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是yx2.(3)如图所示，直线l上点的坐标都是方程|x|2的解，然而坐标满足方程|x|2的点不一定在直线l上，因此|x|2不是直线l的方程10证明圆心为坐标原点，半径
18、等于5的圆的方程是x2y225，并判断点M1(3，4)，M2(2，2)是否在这个圆上【解】设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以5，也就是xy25，即(x0，y0)是方程x2y225的解设(x0，y0)是方程x2y225的解，那么xy25，两边开方取算术平方根，得5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点由可知，x2y225是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程把点M1(3，4)代入方程x2y225，左右两边相等，(3，4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(2，2)代入方程x2y225，左右两边不相等，(2，2)不是方程的
19、解，所以点M2不在这个圆上能力提升1已知02，点P(cos ，sin )在曲线(x2)2y23上，则的值为_【解析】由(cos 2)2sin23，得cos .又02，或.【答案】或2方程(x2y24)0的曲线形状是_(填序号)图263【解析】由题意可得xy10或它表示直线xy10和圆x2y240在直线xy10右上方的部分【答案】3由方程(|x|y|1)(x24)0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是_【解析】表示的曲线为|x|y|1，其图形如图所示，为一正方形，S()22.【答案】24已知点P(x0，y0)是曲线f(x，y)0和曲线g(x，y)0的交点，求证：点P在曲线f(x，y)g(x，y)0(R)上【证明】因为P是曲线f(x，y)0和曲线g(x，y)0的交点，所以P在曲线f(x，y)0上，即f(x0，y0)0，P在曲线g(x，y)0上，即g(x0，y0)0，所以f(x0，y0)g(x0，y0)000，故点P在曲线f(x，y)g(x，y)0(R)上.