1、福建省漳州市2020届高三数学第一次教学质量检测卷 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】B【解析】【分析】解出集合、，利用并集的定义可求出集合.【详解】或，因此，或.故选：B.【点睛】本题考查并集的运算，同时也考查了一元二次不等式以及分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用复数的除法求出复数，利用共轭复数的概念可得出复数，由此可得出复数的
2、虚部.【详解】，在等式两边同时除以得，因此，复数的虚部为.故选：D.【点睛】本题考查复数虚部的求解，涉及复数的除法以及共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.如图，、为正方形各边上的点，图中曲线为圆弧，两圆弧分别以、为圆心，、为半径（为正方形的中心）.现向该正方形内随机抛掷枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设正方形的边长为，可得知两个扇形的半径均为，并计算出两个扇形的面积之和，利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】设正方形的边长为，则该正方形的对角线长为，则扇形的半径为，两个扇形的面积之和为，正方形的面积为，因此
3、，该枚豆子落在阴影部分的概率为.故选：A.【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是计算出平面区域的面积，考查计算能力，属于基础题.4.记为正项等比数列的前项和.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为，则，根据题意求出的值，然后利用等比数列的求和公式可计算出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，由，可得，解得.因此，.故选：C.【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是求出等比数列的首项和公比，并利用等比数列求和公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.5.函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
4、】分析函数的零点，由此可得出函数的图象.【详解】令，可得或，解得或，故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6.在中，角、所对的边分别为、，若、成等差数列，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可得出，设，结合题意可得，可得出，可得，利用锐角三角函数可得出和的值，进而可计算出的值.【详解】，由正弦定理得，设，则，由于、成等差数列，则，所以，由锐角三角函数定义可得，因此，.故选：A.【点睛】本题考查三角形中三角函数值的计算，涉及锐角三角函数定义的应用，考查计算能力，属于
5、中等题.7.若实数，满足，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域，如下图中的阴影部分区域所示：则为直线在轴上的截距，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，即.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.、表示空间中三条不同的直线，、表示不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若
6、，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】逐一分析各选项中命题的正误，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，若，则与无公共点，所以与平行或异面，A选项错误；对于B选项，若，则与平行或相交，B选项错误；对于C选项，若，则与斜交或垂直，C选项错误；对于D选项，若，由平面与平面垂直的判定定理可得，D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查线面关系、面面关系有关命题真假的判断，可以利用空间中平行、垂直的判定和性质定理进行判断，也可以利用几何体模型来进行判断，考查推理能力，属于中等题.9.已知、为椭圆：的左、右焦点，过点作斜率为的直线与交于、两点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】
7、A【解析】【分析】设点、，可得出直线的方程为，与椭圆的方程联立，列出韦达定理，从而可得出的面积为，代入计算即可.【详解】椭圆的左焦点为，右焦点为，设点、，由题意可知，直线的方程为，即，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得，由韦达定理得，.所以，的面积为.故选：A.【点睛】本题考查椭圆中三角形面积的计算，考查直线与椭圆的综合问题，一般利用韦达定理设而不求的思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.10.若，则（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】D【解析】【分析】由二倍角正切公式计算出的值，再将所求分式变形为，然后利用弦化切的思想即可求出所求分式的值.【详解】由二倍角的正切公式得，整理得，解得
8、或，所以，.当时，原式；当时，原式.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查利用二倍角正切公式以及弦化切思想求值，解题的关键就是求出的值，考查计算能力，属于中等题.11.已知、为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线，交的左、右两支于、两点，若为线段的中点且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设双曲线焦距为，作出图形，由中垂线的性质可得出，由双曲线的定义得出，然后利用勾股定理可得出关于、的二次关系式，由此可解出双曲线的离心率.【详解】设双曲线的离心率为，则，如下图所示：为线段的中点，且，由中垂线的性质可得，由双曲线的定义可得，同理可得，由勾股定理得，即，整理得
9、，等式两边同时除以得，解得.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时也涉及双曲线定义的应用，解题的关键就是利用双曲线的几何性质得出关于、的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数，若与有三个公共点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出函数的图象，可知函数与的图象均过原点，考查直线与函数的图象相切时以及直线过点这些临界位置进行分析，利用数形结合思想可求出实数的值.【详解】如下图所示：可知函数与的图象均过原点，则原点为两个函数图象的一个公共点.当时，则.当直线与函数的图象相切于原点时，则，当直线与函数的图象相切时，由，即，解得，且有，则
10、.当时，若直线过点时，则，若时，直线与函数的图象有三个交点；当时，直线与函数的图象有三个交点；当时，若时，直线与函数的图象有三个交点.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用直线与函数图象的交点个数求参数的取值范围，一般要结合图象找出一些临界位置进行分析，也可以利用参变量分离法，转化为参数直线与函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数在点处的切线方程为，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意得出，可得出关于、的方程组，解出这两个量，即可得出的值.【详解】，则，由于函数在点处的切线方程为，则，解得，因
11、此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用切线方程求参数的值，解题时要抓住以下两点：切点处的导数值等于切线的斜率；切点为函数与切线的公共点.考查计算能力，属于基础题.14.已知向量、满足，则_.【答案】【解析】【分析】可得出，利用平面向量数量积得出的值.【详解】由题意可得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律求向量的模，考查计算能力，属于基础题.15.已知函数相邻的两个对称轴之间的距离为，的图象经过点，则函数在上的单调递增区间为_.【答案】和【解析】【分析】先求出函数的最小正周期，可计算出的值，再将点的坐标代入函数的解析式，结合的范围，可求出的值，然后求出函数的单调递增区
12、间，与定义域取交集即可得出结果.【详解】由题意可知，函数的最小正周期，将点的坐标代入函数的解析式得，得，所以，解得，则.令，解得，所以，函数在上的增区间为.，因此，函数在区间上的单调递增区间为和.故答案为：和.【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了正弦型函数在定区间上单调区间的求解，考查运算求解能力，属于中等题.16.在三棱锥中，则三棱锥的外接球的体积为_.【答案】【解析】【分析】作出图形，取的中点，证明出平面，可知外接球球心在直线上，设三棱锥的外接球的半径为，根据勾股定理求出的值，然后利用球体体积公式可求出结果.【详解】取线段的中点，连接、，如下图所示：，为线段的中
13、点，则，则，平面，三棱锥的外接球球心在直线上，设该球半径为，则，由勾股定理得，即，解得.因此，三棱锥的外接球的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查球体体积的计算，涉及三棱锥的外接球问题，在解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）在等式两边同时乘以，结合等差
14、数列的定义可证明出数列为等差数列；（2）结合（1）中的结论求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，然后利用裂项求和法求出数列的前项和.【详解】（1）由得，又，所以数列首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）得，所以.所以，所以，所以，所以.【点睛】本题考查定义证明等差数列，同时也考查了利用裂项求和法求数列的前项和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18.高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加次模拟考试的数学成绩表：模拟考试第次考试成绩分（1）已知该考生的模拟考试成绩与模拟考试的次数满足回归直线方程，若高
15、考看作第次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；（2）把次模拟考试的成绩单放在五个相同的信封中，从中随机抽取个信封研究成绩，求抽取的个信封中恰有个成绩不等于平均值的概率.参考公式：，.【答案】（1）分；（2）.【解析】【分析】（1）计算出和的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式求出和的值，可求出回归直线方程，然后将代入回归直线方程计算即可；（2）记五个信封分别为、，其中装有分成绩单的信封分别为、，列举出所有的基本事件，并确定事件“抽取的个信封中恰有个成绩不等于平均值”所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出结果.【详解】（1）可知，可知，可知回归直线方程为，当时，可得，估计该
16、学生高考数学的考试成绩为分；（2）记五个信封分别为、，其中装有分成绩单的信封分别为、. 从个信封中随机抽取个的所有可能结果为、，共种. 其中抽取的个信封中恰有个成绩不等于平均值的所有可能结果为、，共种，所以抽取的个信封中恰有个成绩不等于平均值的概率为.【点睛】本题考查回归直线方程的求解，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，考查计算能力，属于中等题.19.如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于，则为的中点，利用中位线的性质
17、可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（2）取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理可得出平面，由此可计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，并设点到平面的距离为，由可计算出点到平面的距离的值.【详解】（1）如图，连接交于，连接，则为的中点.又为上的中点，所以.又平面，平面，所以平面；（2）如图，取的中点，连接，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.同理可得平面，、平面，.又因为，所以平面，平面，则，所以，所以，又，设点到平面的距离为，由，得，所以，即点到平面距离为.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等体积法计算，同时也可以作出
18、垂线，利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，.（1）求抛物线的方程；（2）点为抛物线上一点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设点、，由题意可得直线的方程为，与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦公式求出的值，即可得出抛物线的方程；（2）可得出直线的方程为，由点在抛物线上可得出，然后利用二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最大值，由此可得出面积的最大值.【详解】（1）抛物线的焦点为，直线的方程为设、由，得，故，所以，因此抛物线的方程为；（2）由（1）得的方程
19、为.到直线的距离为.因，所以，所以，因此，所以面积的最大值为.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，同时也考查了抛物线中三角形面积最值的计算，涉及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，证明：.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的定义域和导数，对实数分和两种情况讨论，分析导数在区间上符号的变化，由此可得出函数的单调区间；（2）证法一：构造函数，其中，利用导数分析得知函数在区间上为减函数，由可得出；证法二：分和时，在时，由函数在上的单调性可得出，在时，由（1）中的结论，结合可证明出，综合得出结论.【详解】
20、（1）函数的定义域为，若时，则，此时在单调递减，若时，则由得，当时，函数在单调递减，当时，函数在单调递增，综上所述，当时，在单调递减；若时，在单调递减，在单调递增；（2）证法一：设，所以在上为减函数，又，所以，即，即；证法二：由（1）得，当时，在单调递减，因，所以，当时，在单调递减.因，所以，又因为，所以，所以.综上所述，.【点睛】本题考查含参函数单调区间的分类讨论，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查分类讨论思想的应用与推理能力，属于中等题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
21、选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程为（为参数）.若直线与曲线交于、两点，且点，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在曲线的极坐标两边同时乘以得，再由可将曲线的极坐标方程化为普通方程；（2）设、对应的参数分别为、，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，列出韦达定理，由此可计算出的值.【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即， 将代入上式，可得，所以曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程（为参数），代入曲线的方程中，得，显然，设、对应的参数分别为、
22、，则，因为点在直线上，所以.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，对于这类问题，一般将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理进行求解计算，考查计算能力，属于中等题.选修4-5：不等式选讲23.设函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且正实数、满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）去绝对值，分、三种情况解不等式，由此可得出该不等式的解集；（2）由题意可得出，进而得出，然后将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】（1）因为，当时，由可得出，解得，此时；当时，由可得出，解得，此时；当时，由可得出，解得，此时.所以不等式的解集为；（2）根据（1）可知，函数的最大值为，即，所以.，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.【点睛】本题考查利用绝对值不等式的求解，同时也考查了基本不等式求和的最小值，考查分类讨论思想的应用与计算能力，属于中等题.
