1、学业分层测评(十五)常见函数的导数(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.若f(x)，则f(1)_.【解析】f(1).【答案】2.下列命题中，正确命题的个数为_.若f(x)，则f(0)0；(logax)xln a；加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；曲线yx2在(0,0)处没有切线.【解析】因为f(x)，当x趋向于0时不存在极限，所以f(x)在0处不存在导数，故错误；(logax)，故错误；瞬时速度是位移S(t)对时间t的导数，故错误；yx2在(0,0)处的切线为y0，故错误.【答案】03.曲线ysin x在点处切线的斜率为_. 【导学号：24830074】【解析】ycos x，曲
2、线ysin x在点处切线的斜率为cos.【答案】4.设f(x)x4，若f(x0)4，则x0_.【解析】f(x)4x3，f(x0)4x4，x1，则x01.【答案】15.已知函数f(x)log2x，则f(log2e)_.【解析】f(x)，f(log2e)1.【答案】16.曲线f(x)在处切线的方程为_.【解析】f(x)，kf(2)，则切线方程为y(x2)，即x4y40.【答案】x4y407.若曲线yx在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a_.【答案】648.设直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为_.【解析】设切点为(x0，y0)，则y，x02，y0
3、ln 2，切点为(2，ln 2)，切点在切线上，ln 22b，bln 21.【答案】ln 21二、解答题9.求下列函数的导数：(1)yx8；(2)y4x；(3)ysin；(4)ye2. 【导学号：24830074】【解】(1)y(x8)8x818x7.(2)y(4x)4xln 4.(3)ysincos x，y(cos x)sin x.(4)y(e2)0.10.求抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离.【解】方法一：依题意知与直线xy20平行的抛物线yx2切线的切点到直线xy20的距离最小，设切点为(x0，x)，y(x2)2x，2x01，x0，切点坐标为，所求的最短距离d.方法二：设点(x，
4、x2)是抛物线yx2上任意一点，则该点到直线xy20的距离d|x2x2|2，当x时，d有最小值，即所求的最短距离为.能力提升1.设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则xn等于_.【解析】y(n1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1).令y0得xn.【答案】2.函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_.【解析】y2x，切线斜率k2ak，切线方程为ya2ak(xak)，令y0，a2akx2a，ak1ak，若a116，a34，a51，a1a3a5164121.【答案】
5、213.抛物线yx2上到直线x2y40距离最短的点的坐标为_.【解析】当切线平行于直线x2y40时，切点为所求，令y2x，得x，所以距离最短的点的坐标为.【答案】4.已知两条曲线ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.【解】不存在.理由如下：设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1cos x0，k2sin x0.若使两条切线互相垂直，必须有cos x0(sin x0)1，即cos x0sin x01，也就是sin 2x02，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.
