1、（理科）1 开封市 2020 届高三第三次模拟考试 数学（理科）试题参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案DACCBBDDACAD二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.014.1415.3 116.3 3 322，（本题第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题（共 70 分）17.解：（1）由 12=2nnnn aaa，得1=2+1nnnana，1=2+1nnaann，3 分所以数列nan是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.5 分（2）由（1）知，1=2nnan，1=2nnan.7 分01231=1 22 2+3 2+4 22
2、nnSn 12312=1 22 2+3 2+122nnnSnn9 分 0121=22+2+22nnnSn10 分=122nnnSn 11 分=121nnSn12 分 18.（1）证明：连接 AC，ABCD 是边长为 2 的正方形，F 是 BD 的中点，也是 AC 的中点，又 E 是 PC 的中点，EFPA，EF CD，PA CD，2 分AD CD，ADAP=A，CD 平面 PAD，4 分又CD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD.5 分（2）由（1）知 EFPA,EF 与平面 PDB 所的成角等于 PA 与平面 PDB 所成角，取 AD 中点 O，连接 PO，PAD 是边长为 2 的
3、等边三角形，PO AD 且 PO=3，由（1）知平面 PAD 平面 ABCD，故 PO 平面 ABCD，7 分以 O 为原点，OA,OF,OP 所在直线分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz，则 O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,3),D(-1,0,0),1,0,3,1,2,3,1,0,3,PAPBPD 9 分 设平面 PDB 的法向量为,x y zn，则=0=0PBPD nn,2y3=03=0 x+zxz，（理科）2 令 z=1，3,3,1 n，2 321cos,72 7PAPAPA nnn，11 分 EF 与平面 PDB 所成角的正弦值为 7
4、21.12 分 19.（1）解：椭圆C 的上顶点 A 与左、右焦点1F，2F 构成一个面积为1的直角三角形.1bcbc1bc ，2 分 2222abc4 分 椭圆C 的方程为221.2xy5 分（2）证明：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x ，点1F，2F 到直线l 的距离之积为21211 6 分 当直线l 的斜率存在时，设其方程为 ykxm，联立2212ykxmxy得222124220,kxkmxm8 分 2222244 12228210kmkmmk ，2212mk 9 分 点1F 到直线:l ykxm的距离121kmdk，点2F 到直线:l ykxm的距离22.1kmdk 22
5、22122222211.1111mkkkkmkmd dkkkk 11 分 综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点1F，2F 到直线l 的距离之积为定值 1.12 分 20.解：（1）1()xxfxaeaxex1 分 因为函数()lnxf xaxexb在1x 处的切线为21yexe，所以(1)1(1)2121faebefaee 3 分 解得1,1ab 5 分（2）由()f xmx 得：ln10 xxexmx x，即ln1xxexmx，令ln1()xxexxx，则22ln()xx exxx，6 分 令2()lnxh xx ex，()h x 在(0,)单调递增，122211110eeheeee ，
6、10he，()h x 在 1(,1)e存在零点0 x，即02000()ln0 xh xx ex，8 分（理科）3 0001ln2000000ln1ln0(ln)()xxxxx exx eexx，由于xyxe在(0,)单调递增，故0001lnlnxxx，即001xex，9 分()x在0(0,)x减，在0(x，)增，000000ln111()1xminx exxxxx，11 分 所以1m12 分 21.解：（1）根据散点图可判断，dycx更适合作为 y 关于 x 的回归方程类型.1 分对dycx两边取对数，得lnlnlnycdx，即lnvcdu，由表中数据得：=1.5vu，1011022130.5
7、 10 1.5 1.51346.5 10 1.5 1.53，分iiiiiu vnuvdunu1ln1.51.51,3cvduce，所以所以 y 关于 x 的回归方程为13yex4 分（2）12332791，z xxxz xx，令 0，zx得 x=27，5 分当0,27x时，0，zx z x 单调递增；当27,x时，0，z x z x 单调递减.7 分所以预计下一年投入 x=27 千万元时，年利润 z 取得最大值为 132727 272754z千万元.8 分（3）因为20.50.53，所以 0.500.53220.95450.68270.68270.818692，分PXPXPXPX 1 0.68
8、270.532，P XP X 10 分1 0.6827()02 0.818642.27182.27().2元 E Y12 分 22.解：（1）已知曲线1C 的参数方程为cos1 sin，为参数 xy，消去参数 得221:11Cxy.1 分（理科）4 将曲线1C 化为极坐标方程为1:2sinC.2 分 联立曲线1C 和2C 极坐标方程2 3 cos2sin 得：交点 A的极坐标为3,3，化为直角坐标为3 3,22.5 分（2）连结OA，由（1）A点极坐标3,3可得：33，OAAOx 将直线与曲线1C 和2C 联立可得 2sin,2 3cos,BC .2sin,2 3cos,OBOCCOxBOx 63AOBAOC 分 211=sinsin2211 =3 2 3cossin3 2sinsin2323 =3sin3cossin3 =2 3sin3 =38ABCAOCAOBSSSOA OCAOCOA OBAOB 分 21sin32，0,.10312，分 23.解：（1）由已知得：322122mm，解得 1322m，3 分因为,mN 所以1m .5 分（2）3abc ，6 分1+1+1+3+=11132222abca b cabcabc8 分当且仅当1abc取等号所以 abc最大值为 310 分
