1、第页1福建省莆田市第二十四中学 2019 届高三上学期第一次月考数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1己知集合02xAxx，1,0,1,2,3B ，则 AB I（）A1,0,3B0,1C0,1,2D0,2,3,2己知i 为虚数单位，若复数 z 满足 1 iiiz，则 z （）AiB iC1D-13已知函数0,20,12)(2xxxxxfx，则函数的图象是（）4党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩.2013 年至 2016 年 4 年间，累计脱贫 5564 万人，2017 年各地根据实
2、际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地 3000 户家庭的 2017 年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为100,80),80,60),60,40),40,20，则年收入不超过 6 万的家庭大约为（）第页2A900 户B600 户C300 户D150 户5九章算术是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内
3、的概率为（）A152B 52C154D 516.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果 S 的值为（）A-1B0C1D10097如果函数xaxy2cos2sin的图象关于直线12x对称，那么该函数的最大值为（）A2B2C3D38某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.83B.82C.2442D.24439已知定义在 R 上的偶函数)(xf对于),0 上任意两个不相等实数1x 和2x，)(xf都满足0)()(1212xxxfxf，若)5(log),3(log),0(22.0fcfbfa，则cba,的大小关系为（）第页3AabcBbacCbcaDcba10如图，在棱长为10的正方体内
4、放入两个半径不相等的球21,OO，这两个球相外切，且球1O 与正方体共顶点 A 的三个面相切，球2O 与正方体共顶点1B 的三个面相切，则球2O 的半径最大时，球2O 的体积是（）A100B3500C300D350011设12,F F 分别为椭圆2222:10 xyCabab的左右焦点，椭圆C 上存在一点 P 使得12PFPFb，12158PFPFab，则该椭圆的离心率为（）A 12B22C32D 1312设函数Rtttxexxfx,5)3()(.若存在唯一的整数0 x，使得0)(0 xf，则实数t 的取值范围为（）A2,3(2eeB)2,3(2eeC2,3(2 eeD)2,3(2 ee二、填
5、空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13己知向量1,3a r，2,1bmr，若 abrr，则实数 m 14设实数,x y 满足30,30,0,xyxxy ，则2zxy的最大值为15已知实数yx,满足4020632xyxyx，则23 yxz的最大值为.16在锐角三角形 ABC 中，BA2，CA ,的对边长分别是ca,，则 ac 的取值范围为.第页4三、解答题（本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知正项等比数列na的前 n 项和为nS，且)(12*NnaSnn.（1）求数列na的通项公式；（2）若nnablg，求数列nnba 的前 n 项
6、和nT.182017年5月，“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和网购.2017年末，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用.某商家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送台历.（1）求获得台历是三人中至少有一人的红包超过5元的概率；（2）统计一周内每天使用支付宝付款的人数 x 与商家每天的净利润 y 元，得到7组数据，如表所示，并作出了散点图.（i）直接根据散点图判断，bxay与dxcey哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型.（dcba,的值取整数）（ii）根
7、据（i）的判断，建立 y 关于 x 的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到35时，商家当天的净利润.参考数据：第页5xy712)(iixx71)(iiiyyxx22.86194.29268.863484.29附：对于一组数据),(,),(),(2211nn vuvuvu，其回归直线 uv的斜率和截距的最小二乘估计分别为uvauuvvuuniiniii,)()(121.19如图，PA平面 ABD，PC平面 BCD，FE,分别为CDBC,上的点，且ACEF.（1）求证：/EF平面 ABD；（2）若 ABD是边长为2的正三角形，DCBCPA,3，平面ABD平面CBD，求四面体 ABCD 的体积
8、.第页620已知椭圆C：)0(12222babyax的离心率为 23，点)23,1(在椭圆上.不过原点的直线l 与椭圆交于BA,两点，且0OBOA（O 为坐标原点）.（1）求椭圆C 的方程；（2）试判断22|1|1OBOA是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.21已知函数Rmxxmxxf,ln2)(2.（1）求函数)(xf的单调增区间；（2）若函数)(xf有两个极值点21,xx，且21xx，证明：1)(22 xxf.第页7请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正
9、半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为2212xy，曲线2C 的参数方程为cos1sinxy（为参数），曲线3C 的方程为tanyx，（0,02 x），曲线3C 与曲线12CC、分别交于,P Q 两点（）求曲线12CC、的极坐标方程；（）求22OPOQ的取值范围23选修 4-5：不等式选讲已知函数 32f xxax，0a（）当1a 时，解不等式 1f xx；（）若关于 x 的不等式 4fx 有解，求 a 的取值范围.第页8数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112选
10、项BADAABBDDBCA二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13-714615 4162 2 3(,)23三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（本小题满分 12 分）解：（）由21nnSanN（），可得1121Sa，1121aa，11a.又2221Sa，12221aaa，22a.数列na是等比数列，公比212aqa，数列na的通项公式为12nna.（）由（）知，lg(1)lg2nnban，数列nnba的前 n 项和1122()()()nnnTbababan-1=(0+1)+(lg2+2)+(n-1)lg2+21lg22lg2
11、(1)lg2(122)nn(1)lg2212nn n 18（本小题满分 12 分）解：（）记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过 5 元”为事件 M，5 名顾客中红包超过 5 元的两人分别记为12,A A，不足 5 元的三人分别记为123,B B B，从这 5 名顾客中随机抽取 3 人，共有抽取情况如下：121122123112,A A B A A B A A B A B B113123212213223123,A B B A B B A B B A B B A B B B B B，共 10 种.其中至少有一人的红包超过 5 元的是前 9 种情况，所以9()10P M.（）（）根据散点图
12、可判断，选择 yabx作为每天的净利润的回归方程类型比较适合.第页9（）由最小二乘法求得系数71721()()3484.2913268.86()iiiiixxyybxx，所以194.29 13 22.86103aybx 所以 y 关于 x 的回归方程为103 13yx.当35x 时，商家当天的净利润352y 元，故使用支付宝付款的人数增加到 35 时，预计商家当天的净利润为 352 元.19（本小题满分 12 分）解：（）证明：PA 平面 ABD，PABD.又 PC 平面 BCD，,PCBD PCEF，又 PAPCP，BD 平面 PAC.（3 分）又,EFAC ACPCC，EF 平面 PAC，
13、/EFBD4 分 EF 平面 ABD，BD 平面 ABD，/EF平面 ABD.（）取 BD 的中点Q，连接,AQ CQ.ABD为正三角形，AQBD，平面 ABD 平面CBD，且平面 ABD平面CBDBD，AQ 平面CBD.又 PC 平面 BCD，/AQPC.又 BCDC，CQBD，CQ 平面 ABD，即CQAQ.PA 平面 ABD，/PA CQ，且 PAAQ，四边形 APCQ 为矩形，3CQPA，11123 33332A BCDC ABDABDVVSCQ ，故四面体 ABCD 的体积为3.第页1020（本小题满分 12 分）解：（）椭圆C 的离心率32cea，又222cab，22234 aab
14、，224ab.又点3(1,)2P在椭圆上，221314ab，即2213144bb，21b ，则24a，椭圆C 的方程为2214xy.（）当直线OA 的斜率存在且不为 0 时，设其方程为 ykx，,A B 分别为椭圆上的两点，且0OA OB，即OAOB，直线OB 的方程为1yxk.设1122(,),(,)A x yB xy，把 ykx代入椭圆C：2214xy，得212414xk，2212414kyk，同理2222444kxk，22244yk，22222211221111|OAOBxyxy22222211544444141444kkkkkk当直线,OA OB 中的一条直线的斜率不存在时，则另一条直
15、线的斜率为 0，此时22221111151|44OAOBab.综上所述，2211|OAOB为定值 54.21（本小题满分 12 分）解：（）由()2ln,mf xxx mRx，得：22222()1,(0,)mxxmfxxxxx 第页11设函数2()2,(0,)g xxxm x当1m 时，即4+40m 时，()0g x，()0fx，所以函数()f x 在),0(上单调递增.当1m 时，即4+40m 时，令()0g x 得111xm，211xm，12xx当 10m 时，即120 xx时，在1(0,)x 2(,)x 上，()0g x，()0fx;在12(,)x x上，()0g x，()0fx.所以函
16、数()f x 在1(0,)x，2(,)x 上单调递增，在12(,)x x上单调递减.当0m 时，即120 xx时，在2(0,)x上，()0g x，()0fx;在2(,)x 上，()0g x，()0fx.所以函数()f x 在2(0,)x上单调递减，在2(,)x 上单调递增.综上，当1m 时，函数()f x 在),0(上单调递增；当 10m 时，函数()f x 在(0,11)m，(1+1,)m 上单调递增，在(11,1+1)mm上单调递减；当0m 时，函数()f x 在(0,1+1)m上单调递减，在(1+1+,)m 上单调递增.（）证明：函数()f x 有两个极值点12,x x，且12xx，2(
17、)20g xxxm有两个不同的正根1211,11xm xm ，120,440,x xmm 10m.欲证明22222()2ln1mf xxxxx，即证明222ln1mxx，2222mxx，证明222ln1mxx成立，等价于证明222ln1xx 成立.22(2)(1,0)mx x，211(1,2)xm.设函数()2ln,(1,2)h xxx x，求导可得2()1h xx.易知()0h x 在(1,2)x上恒成立，即()h x 在(1,2)x上单调递增，第页12()(1)1h xh ，即222ln1xx 在2(1,2)x 上恒成立，函数()f x 有两个极值点12,x x，且12xx时，22()1f
18、 xx.22解：（）因为cosx，siny，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cossin12，即2221sin由cos1sinxy（为参数），消去，即得曲线2C 直角坐标方程为2211xy将cosx，siny，代入化简，可得曲线2C 的极坐标方程为2sin（）曲线3C 的极坐标方程为，0,02由（1）得2221 sinOP，224sinOQ即22228sin1sinOPOQ2811sin 因为 02，所以0sin1，所以220,4OPOQ 23解：（）当1a 时，即解不等式1321xxx当1x 时，不等式可化为 231xx，即23x ，与1x 矛盾无解当213x 时，不等式可化为 411xx ，即0 x，所以解得203x当23x 时，不等式可化为 231xx，即4x ，所以解得243x 综上所述，不等式的解集为4,0第页13（）222,3242,322,xaxfxxaxaxaxa 因为函数 f x 在2,3 上单调递增，在2,3上单调递减，所以当23x 时，max23fxa不等式 4fx 有解等价于 max243fxa，故 a 的取值范围为 10,3