1、学业分层测评(十一)抛物线的几何性质(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为 _.【解析】由定义知POPF，所以xP，yP.【答案】2.抛物线yax21与直线yx相切，则a等于_.【解析】由消y得ax2x10.直线yx与抛物线yax21相切，方程ax2x10有两相等实根.判别式(1)24a0，a.【答案】3.(2016济南高二检测)已知过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，AF2，则BF_.【解析】y24x，p2，F(1,0)，又AF2，xA2，xA12，xA1.即ABx轴，F为AB的中点，BFAF2.【答案
2、】24.边长为1的等边三角形OAB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程为 _.【解析】由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22px(p0)，且A为x轴上方的点，则易求A，所以p，所以p，所以抛物线方程为y2x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2x.【答案】y2x5.设抛物线y22x与过焦点的直线交于A，B两点，则的值是_. 【导学号：24830051】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可知p1，则(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2p2.【答案】6.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0).直线l与抛物线
3、C相交于A、B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为_.【解析】抛物线的方程为y24x，设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，两式相减得，yy4(x1x2)，1，直线l的方程为y2x2，即yx.【答案】yx7.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是_.【解析】建立直角坐标系(图略)，设抛物线方程是y22px(p0).A(40,30)在抛物线上，3022p40，p，光源到反光镜顶点的距离为5.625 (cm).【答案】5.625 cm 8.设M(x0，y0)为抛
4、物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是_.【解析】圆心到抛物线准线的距离为p4，根据已知只要FM4即可.根据抛物线定义，FMy02.由y024，解得y02，故y0的取值范围是(2，).【答案】(2，)二、解答题9.直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，且一直角边的方程是y2x，斜边长是5，求此抛物线的方程.【导学号：24830052】【解】如图，设直角三角形为AOB，直角顶点为O，AO边的方程为y2x，则OB边的方程为yx.由得A点坐标为.由得B点坐标为(8p，4p).AB5，5. p0
5、，解得p，所求抛物线方程为y2x.10.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值.【解】以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，如图所示.则点B的坐标为，设隧道所在抛物线方程为x2my(m0)， 则2m，ma，即抛物线方程为x2ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay，即y.欲使卡车通过隧道，应有y3，即3.解得a12.21或a0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则_.【解析】由焦点弦性质知，抛物线的标准方程为x2y(a0)，2p，p，
6、4a，即4a.【答案】4a3.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB12，P为C的准线上的一点，则ABP的面积为_. 【解析】不妨设抛物线方程为y22px(p0)，依题意，lx轴，且焦点F，当x时，yp，AB2p12，p6，又点P到直线AB的距离为p6，故SABPABp12636.【答案】364.如图244，已知AOB的一个顶点为抛物线y22x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且AOB90.图244(1)证明直线AB必过一定点；(2)求AOB面积的最小值.【解】(1)证明设OA所在直线的方程为ykx(k0)，则直线OB的方程为yx，由解得A点的坐标为.同理由解得B点的坐标为(2k2，2k).AB所在直线的方程为y2k(x2k2)，化简并整理，得yx2.不论实数k取任何不等于0的实数，当x2时，恒有y0.故直线过定点P(2,0).(2)由于AB所在直线过定点P(2,0)，所以可设AB所在直线的方程为xmy2.由消去x并整理得y22my40.y1y22m，y1y24.于是|y1y2|2.SAOBOP(|y1|y2|)OP|y1y2|222.当m0时，AOB的面积取得最小值为4.