1、高三数学答案 第1 页(共6页)沧州市普通高中2023届高三年级摸底考试数学参考答案题号123456789101112答案CDBCAABAADACABDCD1.C 解析:利用 Venn图可得.故选C.命题意图 本题考查集合的交并运算及 Venn图,考查学生的数学运算素养.2.D 解析:由题意,z=1+i,于是|z2-zz|=|z|z-z|=22=2 2.故选D.命题意图 本题考查复数的共轭定义及模的计算,考查学生的数学运算素养.3.B 解析:当a,及ab时,可得b,b或b,相交,即不一定有b.当a,及b时,必有ab.故选B.命题意图 本题考查线面垂直的判定及条件的充分性与必要性判断,考查学生的
2、数学逻辑推理素养.4.C 解析:设每人分到的钱构成等差数列an,且公差d0.则 a1+a2+a3=a4+a5,a1+a2+a3+a4+a5=5,于是3a2=a1+a2+a3=52,即a2=56;另一方面,5a3=a1+a2+a5=5,从而a3=1.因此,任意两人所得的最大差值为a5-a1=4d=4(a3-a2)=41-56 =23.故选C.命题意图 本题考查等差数列的基本性质及简单计算,考查学生的数学运算素养.5.A 解析:因为l的横纵截距相等,其斜率为-1,设直线l方程为x+y+b=0(b0),所以|b|2=2,即b=-2 2.故选 A.命题意图 本题考查圆的切线方程,考查学生的逻辑推理能力
3、及数学运算素养.6.A 解析:如图,AD 长为6,BC 长为8,又圆心角为2,则OA=62=12,OB=82=16,于是母线AB=OB-OA=16-12=4.故选 A.命题意图 本题考查圆台侧面展开图及相关计算,考查学生的空间想象能力及数学运算素养.7.B 解析:由f(x)=-4e2x(e2x+1)20可得f(x)在(-,+)上单调递减,于是原不等式等价于x2x+2,解得x(-1,2).故选B.命题意图 本题考查函数单调性的应用、简单的函数不等式的解法,考查学生的逻辑推理能力及数学运算素养.8.A 解析:不妨设点A 位于x 轴上方,则可得A-c,b2a .从而|AF1|=|BF1|=b2a,即
4、|PF1|=b2a.注意高三数学答案 第2 页(共6页)到F1F2PF1,F1F2BF1,则F1F2平面 PBF1.可知PF1B 为二面角P-F1F2-B 的平面角,即PF1B=30.因此,三棱锥P-BF1F2 的体积VP-BF1F2=VF2-PBF1=13SPBF1|F1F2|=1312|PF1|2sinPF1B2c=b4c6a2,于是b4c6a2=a2c6,即a2=b2,故2a2=c2,所以,双曲线C 的离心率为 2.故选 A.命题意图 本题考查双曲线的几何性质、二面角的度量、三棱锥的体积及立体几何中的简单折叠问题,考查学生的逻辑推理能力、空间想象能力.9.AD 解析:样本中心一定在回归直
5、线上;两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值就越接近1;若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则相关系数r=-1.故选 AD.命题意图 本题考查概率与统计中的回归直线的相关定义及求解非线性回归直线方程,考查学生的逻辑推理能力.10.AC 解析:由题意可得an+1=2an+1,即an+1+1=2(an+1),所以数列an+1是以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,因此,an+1=2n,即an=2n-1.注意到,2nanan+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=1 2n-1-1 2n+1-1,于是,Tn=121-1-122-1 +122-1-123-1 +12n-1-12n+1-1
6、 =1-12n+1-11.故选 AC.命题意图 本题考查利用数列的前n 项和确定数列的通项公式、数列的求和、等差数列与等比数列的判定,考查学生的逻辑推理能力及数学运算素养.11.ABD 解析:由题意,f(x)=2sin2x+3 ,又f 6 =2,所以3+3=2k+2即=6k+12,kZ.又01,所以,=12,即f(x)=2sinx+3 ,从而g(x)=2cos x.因此,g(x)的最小正周期为2;设切点为P(x0,y0),则g(x)=-2sin x,则切线斜率k=g(x0)=-2sin x0,而由-2sin x012=-1可得sin x0=1,显然有解;注意到,y=g(x)sin x=sin
7、2x,其对称轴为x=4+12k(kZ),故C错误;而y=g 2x+3 =2cos2x+3 的单调递减区间为 k-6,k+3(kZ),D正确.故选 ABD.命题意图 本题考查三角函数的图象与性质,利用三角函数的图象确定解析式,研究三角函数的单调性与周期性及导数的几何意义求切线方程,考查学生的逻辑推理能力及数学运算素养.12.CD 解析:设f(x)=x+ex,则f(x)在(-,+)上单调递增,又f(b)-f(ln a)=0,则b=ln a;设ab=t,即a=bt,从而b=ln(bt)=ln b+ln t,因此,ln t=b-ln b.设g(x)=x-ln x,g(x)=1-1x,则g(x)在(0,
8、1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,故g(x)min=g(1)=1,这表明ln t1,即te,也就是说ab e.故选CD.命题意图 本题考查利用构造函数确定多元结构的范围问题,考查学生的逻辑推理能力及数学运算素养.13.-128 解析:2+1x 6的通项公式为Tk+1=26-kCk6x-k,k=0,1,2,6,其常数项为26C06,含x-1 的项的系数为25C16,所以,原式的常数项为26C06-25C16=-128.命题意图 本题考查二项展开式的应用确定特定项问题,考查学生的数学运算素养.14.2-1,2+1 解析:设b=(x,y),由题意可得(x+1)2+(y+1)2=1,又|b|=x
9、2+y2,圆心到原点的距离为 2,所以,2-1|b|2+1.命题意图 本题考查平面向量的模的计算及坐标运算,考查学生的转化化归能力及数学运算素养.15.144 解析:先排“冰墩墩”中间有三个空,再排入“雪容融”,所得不同的排法种数为 A44A33=144.高三数学答案 第3 页(共6页)命题意图 本题考查有限制条件的排列组合计数问题,考查学生的逻辑推理和转化能力及数学运算素养.16.1 解析:设g(x)=xex,则g(x)=1-xex,从而g(x)在(-,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.于是,g(x)max=g(1)=1e.要使f(x)=xex 2+(a-2)xex+2-a(e为自然对
10、数的底数)有三个不同的零点x1,x2,x3,且x1x2x3,令xex=t,则t2+(a-2)t+2-a=0需要有两个不同的实根t1,t2,其中t10,即a2或a2,则t1+t2=t1t2=2-a0,而t1t2,于是必有t10,t2 0,1e ,即t10t21e,因此x10 x21x3,且g(x1)=t1,g(x2)=g(x3)=t2.因此,1-x1ex1 2 1-x2ex2 1-x3ex3 =(1-t1)2(1-t2)(1-t2)=1-(t1+t2)+t1t22=1-(2-a)+2-a2=1.若a4,因为g(x)max=g(1)=1e,且t2 0,1e ,所 以,(t1+t2)max0,所以c
11、os A=12,(4分)又A(0,),所以A=3.(5分)(2)由题意点D 满足BD=13BA+23BC 得,CD=13CA,点D 在边AC 上.(7分)于是,BCD 的面积为ABC 面积的13,即SBCD=13SABC=16bcsin A=312bc.(9分)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A 得,9=b2+c2-bcbc,当且仅当b=c时取等号.因此,SBCD=312bc3 34.高三数学答案 第4 页(共6页)所以,BCD 面积的最大值为3 34.(12分)命题意图 本题考查解三角形、平面向量基本定理、三角形面积的最大值,考查学生转化化归及数学运算素养.19.解:(1)连接D1
12、E,D1F,取BB1 的中点 M,连接EM,C1M.由E 为AA1 的中点,则EMA1B1C1D1,且EM=A1B1=C1D1,所以,四边形EMC1D1 为平行四边形,于是D1EMC1;(2分)又F 为CC1 的中点,所以,BMC1F,且BM=C1F,所以,四边形BMC1F 为平行四边形,于是BFMC1.(4分)因此,BFD1E,从而B,E,D1,F 四点共面.(6分)(说明:若直接由BFD1E 或BED1F 得证四点共面,给2分)(2)以D 为坐标原点,DA,DC,DD1 分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.假设存在满足题意的点G,设G(0,0,t).由已知B(1,1,0),E
13、(1,0,1),F(0,1,1),则EF=(-1,1,0),EB=(0,1,-1),EG=(-1,0,t-1).设平面BEF 的法向量为n1=(x1,y1,z1),则 n1EF=0,n1EB=0,即-x1+y1=0,y1-z1=0,于是取x1=1,则n1=(1,1,1);(8分)设平面GEF 的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2EF=0,n2EG=0,即-x2+y2=0,-x2+(t-1)z2=0,取x2=t-1,则n2=(t-1,t-1,1).(10分)因为平面GEF平面BEF,所以n1n2=0,所以t-1+t-1+1=0,即t=12.因此,存在满足题意的点G,使得平面GEF平面BE
14、F,DG 的长度为12.(12分)命题意图 本题考查平面的确定、两面垂直的判定问题,考查学生利用空间向量进行逻辑推理、转化化归的能力及数学运算素养.20.解:(1)记“从10所学校中随机选取3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”为事件A,参与“自由式滑雪”的人数超过40的学校共4所,随机选择3所学校共C34=4种,所以P A =C34C310=4120=130.(3分)(2)“单板滑雪”参与人数超过45的学校共4所,X 的所有可能取值为0,1,2,3,所以P X=0 =C04C36C310=20120=16,P X=1 =C14C26C310=60120=12,高三数学答案 第5 页(共6页
15、)P X=2 =C24C16C310=36120=310,P X=3 =C34C06C310=4120=130,所以X 的分布列如下表:X0123P1612310130(7分)所以E X =016+112+2310+3130=65.(8分)(3)记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件B,则P B =C23 13 223+13 3=727,(10分)由题意,小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布B n,727 ,由题意列式727n5,得n1357,因为nN*,所以n 的最小值为20,故至少要进行20轮测试.(12分)命题意图 本题考查随机事件概率、离散型随机变量的分布列及期望、
16、二项分布的简单应用,考查学生信息处理能力、逻辑推理能力及数学运算素养.21.解:(1)由题意,椭圆的左焦点为(-3,0),根据椭圆的定义,可得点 M 到两焦点的距离之和为(3+3)2+12-0 2+12=4,即2a=4,所以a=2,(2分)又因为c=3,可得b=a2-c2=1,所以椭圆C 的方程为x24+y2=1.(4分)(2)故设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组y=kx+m,x24+y2=1,可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4(m2-1)4k2+1,(7分)所以kOA+kOB=y1x1
17、+y2x2=(kx1+m)x2+(kx2+m)x1x1x2=2k+m(x1+x2)x1x2=2k+-8km24(m2-1)=-2km2-1,(9分)因为kOA+kOB=-12,可得m2=4k+1,所以k-14,(10分)又由判别式0,可得16(4k2-m2+1)0,所以4k2-4k0,解得k1,综上可得,直线l的斜率的取值范围是-14,0(1,+).(12分)命题意图 本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线斜率的取值范围问题,考查学生的逻辑推理及数学运算素养.22.解:(1)因为f x =ex-12ax2-2ax,所以fx =ex-ax-2a,因为函数f x 在 0,+上单调递增,
18、所以fx =ex-ax-2a0在 0,+上恒成立,(2分)高三数学答案 第6 页(共6页)所以 exx+2a 在 0,+上恒成立,令 g x =exx+2,x 0,+,则 g x =x+1 exx+2 2 0 在0,+上恒成立,所以g x =exx+2在 0,+上单调递增,故g x g 0 =12,所以a12,即a 的取值范围是-,12.(5分)(2)fx =ex-ax-2a,对于函数h x =ex,hx =ex,设h x 上一点为 x0,ex0 ,过点 x0,ex0 的切线方程为y-ex0=ex0 x-x0 ,将-2,0 代入上式得-ex0=ex0-2-x0 x0=-1,所以过-2,0 的h
19、 x 的切线方程为y-1e=1e x+1 ,y=1ex+2e.所以,要使y=ex 与y=ax+2a 有两个交点,则a1e,(7分)此时f x 有两个极值点x1,x2,且-2x1-10,所以nt 在 1,+上递增.因为n 1 =0,所以nt 0在 1,+上恒成立.所以mt 0在 1,+上恒成立,所以m t 在 1,+上递增.m 2 =3ln 2-4,m e =5-3ee-1,所以当m t 3ln 2-4,5-3ee-1时,t 2,e ,所以x2+2x1+2的取值范围是 2,e .(12分)命题意图 本题考查函数的极值点及导数的综合应用,考查学生的构造函数进行逻辑推理的能力以及转化化归解决问题的能力,考查学生的逻辑推理及数学运算素养.
