1、月月考(四)计数原理与概率、统计、算法、复数、推理与证明第卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12019湖北武汉调研设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则xyi在复平面内所对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D解析：(1i)x1yixxi1yi(x1)(xy)i0xyi1i，其在复平面内所对应的点为(1，1)，在第四象限，故选D.22018全国卷()Ai BiCi Di答案：D解析：i.32019河北唐山联考执行如图所示的程序框图，当输入的n为7时，输出的S的值是()A14 B21
2、0C42 D840答案：B解析：输入n7，S1,75，S717，n6；65，S6742，n5；55，S542210，n4,45Cn4 Dn4答案：B解析：n1，S3，a5；n2，S8，a7；n3，S15，a9；n4，S24，a11；n5，S35，a13，不满足判断框中的条件；n6，S48，a15，满足判断框中的条件，退出循环，输出的S48，所以判断框中可以填n5.52018全国卷我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A. B.C. D.
3、答案：C解析：不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C1045种情况，而和为30的有723,1119,1317这3种情况 所求概率为.故选C.62019广东惠州模拟设随机变量服从正态分布N(4,3)，若P(a1)，则实数a等于()A7 B6C5 D4答案：B解析：由椭机变量服从正态分布N(4,3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x4，又P(a1)，xa5与xa1关于直线x4对称，(a5)(a1)8，即a6.故选B.7已知随机变量X，Y满足XY8，若XB(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A6和2.4 B2和2
4、.4C2和5.6 D6和5.6答案：B解析：随机变量X，Y满足XY8，XB(10,0.6)，E(X)100.66，D(X)100.60.42.4，则E(Y)E(8X)8E(X)862，D(Y)D(8X)D(X)2.4.故选B.82019甘肃兰州一中模拟在平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为()A.a B.aC.a D.a答案：C解析：设任一点O到四面体ABCD四个平面ABC，ABD，ACD，BCD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则正四面体的体积VABCDVOABCVOABDVOACDVOBCD(SABC
5、d1SABDd2SACDd3SBCDd4)，正四面体的体积等于VSBCDhSBCD(d1d2d3d4)，所以d1d2d3d4h，转化为求正四面体的高由点A向平面BCD引垂线，垂足为P，连接BP，如图在RtABP内，根据勾股定理得APha，故选C.92019广西南宁联考甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子已知丙的年龄比知识分子大，甲的年龄和农民不同，农民的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是()A甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D甲是农民，乙是知识分子，丙是工人答案：C解析：由题意可知丙不是知识分子，甲不
6、是农民，乙不是农民，所以丙是农民，丙的年龄比乙小，比知识分子大，所以甲是知识分子，乙是工人，丙是农民，故选C.102019黑龙江大庆四校联考已知x，y的取值如下表所示. 若y与x线性相关，且y0.95xa，则a()x0134y2.24.34.86.7A.2.2 B2.9C2.8 D2.6答案：D解析：由表格得(0134)2，(2.24.34.86.7)4.5.线性回归直线过样本中点(2,4.5)，4.50.952a，a2.6.故选D.11随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为()A. B.C. D.答案：D解析：P(Xn)(n1,2,3,4)，1，a
7、，PP(X1)P(X2).故选D.122019贵州黔东南州联考近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在30,40)岁的有2 500人，年龄在20,30)岁的有1 200人，则m的值为()A0.013 B0.13C0.012 D0.12答案：C解析：由题意得，年龄在范围30,40)岁的频率为0.025100.25，则赞成高校招生改革的市民有10 000人，因为年龄在范围20,30)岁的有1 200人，则m0.012.故选C.第卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在相应题号后的横线上1
8、32019江西南昌调研某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为_答案：45解析：由题知分组间隔为8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为58545.14若复数za2a2(a1)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是_答案：2解析：由于za2a2(a1)i为纯虚数，因此a2a20且a10，因此a2.152019湖南百所重点中学诊测若a是集合1,2,3,4,5,6,7中任意选取的一个元素，则圆C：x2(y2)21与圆
9、O：x2y2a2内含的概率为_答案：解析：数形结合可知，只能是圆C在圆O的内部，则a12，即a3，圆C：x2(y2)21与圆O：x2y2a2内含的概率为.16ln10，ln(234)2ln3，ln(34567)2ln5，ln(45678910)2ln7，则根据以上四个等式，猜想第n个等式为_答案：lnn(n1)(n2)(3n2)2ln(2n1)解析：题中等式可改写为ln(312)2ln(211)，ln23(322)2ln(221)，ln3456(332)2ln(231)，ln45(342)2ln(241)，故第n个式子为lnn(n1)(n2)(3n2)2ln(2n1)三、解答题：本大题共6小题
10、，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知复数z()2016(1i)2(其中i为虚数单位)，若复数z的共轭复数为，且z143i.(1)求复数z1；(2)若z1是关于x的方程x2pxq0的一个根，求实数p，q的值，并求出方程x2pxq0的另一个复数根解析：(1)因为z()2016(1i)2i20162i12i，所以12i，所以z12i.(2)由题意知(2i)2p(2i)q0，化简得(32pq)(p4)i0，所以32pq0且p40，解得p4，q5，所以方程为x24x50，即(x2)21i2，解得另一个复数根为x2i.18(本小题满分12分)设连续掷两次骰子得到的点
11、数分别为m，n，平面向量a(m，n)，b(1，3)(1)求使得事件“ab”发生的概率；(2)求使得事件“|a|b|”发生的概率解析：由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共有36种(1)若ab，则有m3n0，即m3n，符合条件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件“ab”发生的概率为.(2)若|a|b|，则有m2n210，符合条件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，故所求概率为.19(本小题满分12分)2019山东大联考某社区为丰富居民节日活动，组织了“迎新春”象棋大赛，
12、已知报名的选手情况统计如下表：组别男女总计中年组ab91老年组16cd已知中年组女性选手人数比老年组女性选手人数多2人若对中年组和老年组分别利用分层抽样的方法抽取部分报名者参加比赛，已知老年组抽取了5人，其中女性3人，中年组抽取了7人(1)求表格中的数据a，b，c，d；(2)若从选出的中年组的选手中随机抽取2名进行比赛，求至少有1名女性选手的概率解析：(1)依题意，老年组中，女性抽取了3人，则男性抽取了2人，抽样比为，c324，bc226.a912665，d162440.(2)由已知，中年组共抽取了7人，抽样比为，中年组抽取男性655人，女性752人记5名男性分别为A，B，C，D，E,2名女性
13、分别为e，f，则从中随机选取2名，共有21种不同的结果，分别为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，e)，(A，f)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，e)，(B，f)，(C，D)，(C，E)，(C，e)，(C，f)，(D，E)，(D，e)，(D，f)，(E，e)，(E，f)，(e，f)其中至少有1名女性包含11种不同的结果，分别为(A，e)，(A，f)，(B，e)，(B，f)，(C，e)，(C，f)，(D，e)，(D，f)，(E，e)，(E，f)，(e，f)所求概率为P.20(本小题满分12分)已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解析：(1)当n1时，f(1)1，g(1)1.所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明：当n1,2,3时，不等式显然成立假设当nk(k3)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，f(k1)f(k)，因为0，所以f(k1)6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
