1、提能拔高限时训练45 棱柱、棱锥与球一、选择题1.球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为4,那么这个球的半径为( )A.43 B.23 C.2 D.3解法一:过O作OO平面ABC,O是垂足,则O是ABC的中心,则OA=r=2.又因为AOC=,OA=OC,知OA=AC2OA.又因为OA是RtOOA的斜边,故OAOA.所以OAOA2OA.因为OA=R,所以2R4.因此,排除A、C、D.故选B.解法二:在正ABC中,应用正弦定理,得AB=2rsin60=2.因为AOB=,所以侧面AOB是正三角形,得球半径R=OA=AB=2.解法三:因为正ABC的外径r=2
2、,故高AD=r=3,D是BC的中点.在OBC中,BO=CO=R,BOC=,所以BC=BO=R,BD=BC=R.在RtABD中,AB=BC=R,所以由AB2=BD2+AD2,得R2=R2+9.所以R=2.答案:B2.已知球O的半径是1,A、B、C三点都在球面上,A、B两点和A、C两点的球面距离都是,B、C两点的球面距离是,则二面角BOAC的大小是( )A. B. C. D. 解析:由题意知在三棱锥OABC中,AOB=AOC=,BOC=,则BC=1.作BDAO,连结DC,则BDC为所求二面角BOAC的平面角.SAOB=OBOAsin=AOBD,BD=.同理,DC=,由勾股定理可知BDC为直角三角形
3、.所求的二面角的大小为90,选C.答案:C3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图所示,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A. B. C. D.解析:由题意,知截面与棱的交点为棱AD的中点,设为E点,EC=,EF为EBC的高,F为BC的中点.EF=,S=BCEF=.答案:C4.如图,O是半径为1的球的球心,点A、B、C在球面上,OA、OB、OC两两垂直,E、F分别是大圆弧与的中点,则点E、F在该球面上的球面距离是( )A. B. C. D.解析:E、F分别为圆弧、的中点,故AOE=AOF=.通过E、F两点分别作AO的垂线,根据图形的对称性,易知垂足
4、重合,设为H点,则HF=EH=R,在等腰RtEHF中,EF=R,则EOF为正三角形.故球心角EOF=,可求得点E、F的球面距离为,选B.答案:B5.如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)的球心O,且与BC、DC分别交于E、F,如果截面将四面体分为体积相等的两部分,设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别为S1、S2,则必有( )A.S1S2 B.S1S2C.S1=S2 D.S1、S2的大小关系不能确定解析:设内切球半径为R,VABEFD= (SABD+SABE+SADF+S四边形BEFD)R=VAEFC=(SAEC+SACF+SECF)R,即SABD
5、+SABE+SADF+S四边形BEFD=SAEC+SACF+SECF,两边同加SAEF,得S1=S2.故选C.答案:C6.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点.将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥PDCE的外接球的体积为( )A. B. C. D.答案:C7.长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=3,AA1=1,则顶点A、B两点间的球面距离是( )A.22 B.2 C. D.解析:由题意,易知球心O是长方体对角线AC1的中点.因为AB=2,AC1=2,AO=OB=,所以AOB是等腰直角三
6、角形.故球心角=,所以A,B两点间的球面距离为R=.答案:C8.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为,则球的体积为( )A. B. C.8 D.解析:S圆=r2=r=1,而截面圆圆心与球心的距离d=1,球的半径为R= =2.V=R3=.故选B.答案:B9.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43,M、N分别为AB、CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:弦AB、CD可能相交于点M;弦AB、CD可能相交于点N;MN的最大值为5;MN的最小值为1.其中真命题的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案:C二、填空题10.一
7、个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为_.解析:设底面正六边形的边长为a,球的直径为2R,棱柱的高为h,由已知a=,6()2h=h=3,因为h2+(2a)2=(2R)2,所以2R=2,R=1.故所求球的体积V=R3=.答案:11.若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_.解析:设三棱锥为SABC,则依题意,知三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直,且SA=SB=SC=,AB=BC=CA=.设球的半径为R,则由题意,可得(R-1)2+()2=R2,R=.则外接球的表面积为S=4R2=9
8、.答案:912.在体积为43的球的表面上有A、B、C三点,AB=1,BC=2,A、C两点间的球面距离为,则球心到平面ABC的距离为_.解析:如图,由=4R=.又因为A、C两点间的球面距离为=|R,所以|R=.所以|AB|=R=.又因为AB=1,BC=,所以ABBC.所以AC是ABC所在圆的直径.设其圆心为O,则圆O的半径r=OC=OA=.所以球心到平面ABC的距离为直线.答案: 13.长方体ABCDA1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上,其中ABADAA1=11,A、B两点间的球面距离记为m,A、D1两点间的球面距离记为n,则的值为_解析:依题意知,长方体ABCDA1B1C1D1的体对角线等
9、于球O的直径2R,因为ABADAA1=11,所以可设AB=AD=a,AA1=a(a0),则a2+a2+2a2=4R2,所以a=R.所以AB=AD=R,AA1=2R,则球心角AOB=,AOD1=.所以A、B两点间的球面距离m=R,A、D1两点间的球面距离n=R,所以=.答案: 三、解答题14.如图所示,四棱锥ABCDE中,AD底面BCDE,ACBC,AEBE.(1)求证:A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上;(2)若CBE=90,CE=,AD=1,求B、D两点间的球面距离.解:(1)AD底面BCDE,ADBC,ADBE.又ACBC,AEBE,BCCD,BEED.B、C、D、E四点共
10、圆,即BD为此圆的直径.取BD的中点M,AB的中点N,连结MN,则MNAD.MN底面BCDE,即N的射影是圆的圆心M,有AM=BM=CM=DM=EM,五点共球且直径为AB.(2)若CBE=90,则底面四边形BCDE是一个矩形,连结DN.CE=,AD=1,BD=,MN=.R=BN=1,BNM=,BND=.圆周角=.B、D两点间的球面距离是l=|R=.15.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,A1AB=A1AC,AB=AC,A1A=A1B=a,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120,E、F分别是棱B1C1、A1A的中点.(1)求A1A与底面ABC所成的角;(2)证明A1E平面B1FC;
11、(3)求经过A1、A、B、C四点的球的体积.解:(1)过A1作A1H平面ABC,垂足为H,连结AH,并延长交BC于点G,连结EG,于是A1AH为A1A与底面ABC所成的角.A1AB=A1AC,AG为BAC的平分线.又AB=AC,AGBC,且G为BC的中点.因此,由三垂线定理,得A1ABC.A1AB1B,且EGB1B,EGBC.于是AGE为二面角ABCE的平面角,即AGE=120.由四边形A1AGE为平行四边形,得A1AG=60.所以A1A与底面ABC所成的角为60.(2)设EG与B1C的交点为P,则点P为EG的中点,连结PF.在AGEA1中,因为F为A1A的中点,故A1EFP.而FP平面B1F
12、C,A1E平面B1FC,所以A1E平面B1FC.(3)连结A1C,在A1AC和A1AB中,由于AC=AB,A1AC=A1AB,A1A=A1A,则A1ACA1AB,故A1C=A1B.由已知得A1A=A1B=A1C=a.又A1H平面ABC,H为ABC的外心.设所求球的球心为O,则OA1H,且球心O与A1A中点的连线OFA1A.在RtA1FO中,故所求球的半径R=a,球的体积V=R3=(a)3=a3.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 一件工艺品是将一个彩色半透明的正四面体镶嵌于一个水晶球体内制作而成的.已知正四面体的顶点都在球面上,球的直径为12 cm,则正四面体的棱长为_cm,球心到正四面体
13、各面的距离为_cm.解析：设正四面体的棱长为a cm,球的半径为正四面体高的,6=,得a=4cm.又球心到各面的距离为高的,即4=2 cm.答案：4 2【例2】 如图,水平地面上有一个大球,现有如下方法测量球的大小:用一个锐角为45的三角板,斜边紧靠球面,一条直角边紧靠地面,并使三角板与地面垂直,P为三角板与球的切点,如果测得PA=2,则球的表面积为.解析：设球心为O,半径为R,B为另一个切点,PAB=135,POB=45,由余弦定理,得R2+R2-2RRcos45=22+22-222cos135,整理,得R2(1-)=22(1+),R2=22=4(3+2),4R2=16(3+2)=(48+32）,故填(48+32).答案：(48+32)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m