1、2017年高考数学基础突破导数与积分第7讲 导数与函数的零点（学生版，后附教师版）【知识梳理】研究方程根或函数的零点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现【基础考点突破】考点1. 利用导数解决函数零点问题【例1】(2014课标全国)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k1，函数f(x)(1x2)exa. (1)求f(x)的单调区间； (2)证明：f(
2、x)在(，)上仅有一个零点； (3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)， 3(2015课标全国)设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln.4已知函数f(x).(1)若f(x)在区间(，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若a0，x01，设直线yg(x)为函数f(x)的图象在xx0处的切线，求证：f(x)g(x)2017年高考数学基础突破导数与积分第7讲 导数与函数的零点（学生版，后附教师版）【知识梳理】研究方程根或函数的零点的情况，可以通过导
3、数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现【基础考点突破】考点1. 利用导数解决函数零点问题【例1】(2014课标全国)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增
4、，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根综上，g(x)0在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点【例2】（2016年北京高考）设函数.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.解：（I）由，得因为，所以曲线在点处的切线方程为（II）当时，所以令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，使得由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点（III）当时，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点当时，只有一个零点，记作当时，在区间上单调递增；当时，
5、在区间上单调递增所以不可能有三个不同零点综上所述，若函数有三个不同零点，则必有故是有三个不同零点的必要条件当，时，只有两个不同点， 所以不是有三个不同零点的充分条件因此是有三个不同零点的必要而不充分条件变式训练2.（2016年全国I卷高考）已知函数.(I)讨论的单调性；(II)若有两个零点，求的取值范围.【解析】（）（ i ）当时，则当时，；当时，故函数在单调递减，在单调递增（ ii ）当时，由，解得：或若，即，则，故在单调递增若，即，则当时，；当时，故函数在，单调递增；在单调递减若，即，则当时，；当时，；故函数在，单调递增；在单调递减（）（i）当时，由（）知，函数在单调递减，在单调递增又，取
6、实数满足且，则有两个零点（ii）若，则，故只有一个零点（iii）若，由（I）知，当，则在单调递增，又当时，故不存在两个零点；当，则函数在单调递增；在单调递减又当时，故不存在两个零点综上所述，的取值范围是【基础练习巩固】1若函数f(x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A4 B6 C7 D8答案A解析由题意得f(x)6x218x126(x1)(x2)，由f(x)0得x2，由f(x)0得1x1，函数f(x)(1x2)exa. (1)求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点； (3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切
7、线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m1.解析：（1）f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2exxR，f(x)0恒成立.f(x)的单调增区间为(，).(2)证明f(0)1a，f(a)(1a2)eaa，a1，f(0)2aeaa2aaa0，f(0)f(a)0，则m0，g(m)在(0，)上增.令g(x)0，则m0时，f(x)2aaln.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0)当a0时，f(x)0，f(x)没有零点当a0时，因为ye2x单调递增，y单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0时，f(x)存在唯一零点(
8、2)证明由(1)，可设f(x)在(0，)的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln2aaln.故当a0时，f(x)2aaln.4已知函数f(x).(1)若f(x)在区间(，2)上为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若a0，x01，设直线yg(x)为函数f(x)的图象在xx0处的切线，求证：f(x)g(x)(1)解易得f(x)，由已知得f(x)0对x(，2)恒成立，故x1a对x(，2)恒成立，1a2，a1.(2)证明a0，则f(x).函数f(x)的图象在xx0处的切线方程为yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，xR，则h(x)f(x)f(x0).设(x)(1x)ex0(1x0)ex，xR，则(x)ex0(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在R上单调递减，而(x0)0，当x0，当xx0时，(x)0，当x0，当xx0时，h(x)0，h(x)在区间(，x0)上为增函数，在区间(x0，)上为减函数，xR时，h(x)h(x0)0，f(x)g(x)