1、课时跟踪检测（二十一） 向量数量积的坐标运算与度量公式层级一学业水平达标1已知向量a(0，2)，b(1，)，则向量a在b方向上的投影为()AB3C D3解析：选D向量a在b方向上的投影为3.选D.2设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A BC2 D10解析：选B由ab得ab0，x11(2)0，即x2，ab(3，1)，|ab|.3已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k()A12 B6C6 D12解析：选D2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.4a，b为平面向量，已知a(4,3)，2
2、ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A BC D解析：选C设b(x，y)，则2ab(8x,6y)(3,18)，所以解得故b(5,12)，所以cosa，b.5已知A(2,1)，B(6，3)，C(0,5)，则ABC的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形解析：选A由题设知(8，4)， (2,4)，(6,8)，28(4)40，即.BAC90，故ABC是直角三角形6设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.解析：ac(3,3m)，由(ac)b，可得(ac)b0，即3(m1)3m0，解得m，则a(1，1)，故|a|.答案：7已知向量a(
3、1，)，2ab(1，)，a与2ab的夹角为，则_.解析：a(1，)，2ab(1，)，|a|2，|2ab|2，a(2ab)2，cos ，.答案：8已知向量a(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab，则向量b的坐标为_解析：设b(x，y)(y0)，则依题意有解得故b.答案：9已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解：(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2
4、,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.综上，|ab|2或2.10在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(2,3)，C(2，1)(1)求及|；(2)设实数t满足(t)，求t的值解：(1)(3，1)，(1，5)，31(1)(5)2.(2，6)，|2.(2)t(32t，1t)，(2，1)，且(t)，(t)0，(32t)2(1t)(1)0，t1.层级二应试能力达标1设向量a(1,0)，b，则下列结论中正确的是()A|a|b|BabCab与b垂直 Dab解析：选C由题意知|a|1，|b|，ab10，(ab)bab|b|20，故ab与b垂直2已知向
5、量(2,2)，(4,1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标是()A(3,0) B(2,0)C(3,0)D(4,0)解析：选C设P(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)2x26x10(x3)21，故当x3时，最小，此时点P的坐标为(3,0)3已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，O(0,0)，若|，(0，)，则，的夹角为()A. B. C. D.解析：选D因为|2()222296cos 113，所以cos ，因为(0，)，所以，所以C，所以cos，因为0，所以，所以，的夹角为.4已知(3,1)，(0,5)，且， (O为坐标原点)，则点C的坐标是
6、()A BC D解析：选B设C(x，y)，则(x，y)又(3,1)，(x3，y1)，5(x3)0(y1)0，x3.(0,5)，(x，y5)，(3,4)，3x4(y5)0，y，C点的坐标是.5平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.解析：因为向量a(1,2)，b(4,2)，所以cmab(m4,2m2)，所以acm42(2m2)5m8，bc4(m4)2(2m2)8m20.因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以，即，所以，解得m2.答案：26已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_解析：以D为坐标原点，建立平面
7、直角坐标系如图所示则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，设E(1，a)(0a1)所以(1，a)(1,0)1，(1，a)(0,1)a1，故的最大值为1.答案：117已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解：(1)设c(x，y)，|c|2，2，x2y220.由ca和|c|2，可得解得或故c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，253ab20，整理得ab，cos 1.又0，.8已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值解：(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)又1(3)130，即ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为(x，y)，则(1,1)，(x1，y4)，解得点C的坐标为(0,5)由于(2,4)，(4,2)，8816，|2，|2.设与的夹角为，则cos ，矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
