1、2020 年河南省六市高三第一次模拟调研试题 理科数学参考答案 一、选择题 1-5 CADDC 6-10 DBBDB 11-12 BC 二、填空题 13.10 14.),1(+15.135 16.),1(1ee 三、解答题：17、解：（1）因为 D 在边 BC 上，所以 coscosADBADC=，在 ADB和 ADC中由余弦定理，得222222022ADBDABADDCACADBDADDC+=，.3 分 因为2 13AB=，4AC=，3AD=，BDDC=，所以229529160BDBD+=，所以225BD=，5BD=.所以边 BC 的长为 10.6 分（2）由（1）知 ADC为直角三角形，所
2、以14 362ADCS=，212ABCADCSS=.8 分 因为CE 是BCA的角平分线，所以1sin21sin2ACEBCEACCEACESSBCCEBCE=42105ACBC=.10 分 所以25ABCBCEACEBCEBCESSSSS=+=+7125BCES=，所以607BCES=.即 BCE的面积为 607.12 分 18.解：（1）分所以又因为所以的中点，是又因为是等边三角形，所以是菱形，且因为四边形2.333,660BADABCD=BOAOABADBOADOABD 理科数学答案 第 1 页 （共 6 页）分所以平面所以又所以是菱形，又因为所以分平面所以又所以，又5.,/3.,43,
3、4222PEACPOEACOOEPOOEACBDOEABCDACPOABCDPOOOBADADPOOBPOPBPOBOPBPO=+=（2）由题意结合菱形的性质易知OPOA，OPOB，OAOB，以点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则：()()()3 30,0,4,0,3 3,0,0 0,0,0,3,02 2PBE，)0,0,3-(D 设平面 POE 的一个法向量为()111,mx y z=r,则：11140333022m OPzm OExy=+=uuuvruuuvr，据此可得平面 POE 的一个法向量为()3,1,0m=r，.8 分 设平面 PBD 的一个法向量为()22
4、2,nxyz=r 则:03330432222=yxBDnzxPDn 据此可得平面 PBD 的一个法向量为)33,4,34(=n.10 分 9191891216,cos=nmnmnm 平面 POE 与平面 PBD 所成锐二面角的余弦值91918.12 分 19.解：（1）由题知），（，accace1P1=在椭圆上 所以11,11222222222=+=+bbacbbaca故2,1=ab 理科数学答案 第 2 页 （共 6 页）所以椭圆 C 的方程为1222=+yx.4 分（2）由题意得，P 不在 x 轴上，不妨设(),(),(0),(2211yxByxAnnmP，由,11PFAF=得),1(),
5、1(11nmyx+=，所以nymx=11,1，又由122121=+yx得1)(2122=+nm）（6 分 又1222=+nm，联立消去n 得01)22()23(2=+mm 即0)1(1)23(=+m，由题意知0，01+，所以m231+=8 分 同理可得m231=10 分 所以2496231231mmm=+=+故当0=m时，+取最小值 32 .12 分 20 解：（1）由题可知02)1()(2=+=xxaeexxf有两个不相等的实根 即：021=+xaex有两个不相等实根.1 分 令)(12xhexax=+=Rxexeexexhxxxx=+=,)()1()(2 0)(),0(;0)(),0,(x
6、hxxhx 故上单减上单增，在（在),0)0,()(+xh.3 分 1)0()(max=hxh;0)()1,(,0)1(+xhx时，)21,0(),1,0(2aa即.5 分 理科数学答案 第 3 页 （共 6 页）此题还可以利用数形结合转化为1(1)2xyxyea=+=与相交问题，（2）方法一：由（1）知，21,xx是方程aexx21=+的两根，2101xx+xxxx 因为)(xh在），（+0单减，)()(),()(),()(111212xhxhxhxhxhxh=又 即111111xxexex+，两边取对数，并整理得：0)1()1ln()1ln(111 xF对）0,1(x恒成立，)(xF在）0
7、,1(上单增，故0)0()(=FxF恒成立，符合题意；.10 分 当），（10时，），（011，)0,1(x时0)(FxF，不符合题意.综上，1.12 分 方法二：设21xx、是021=+xaex的两根，且21xx，则021 xx 即1110212121212121=+=+=+texxaexaexxxxx+=+=+=+=11ln11lnln)1(1ln212121tttxttttxxtxtxx)10011ln11lnln021+ttttttttxx恒成立（即 即恒成立0)1(ln1ln+ttttt.8 分 令)1(ln1ln)(+=ttttttg 理科数学答案 第 4 页 （共 6 页）221
8、)(,1ln)(tttttgttttg=+=.9 分 当1时，0)(gtg 故上为增函数在)1,0()(tg，0)1()(=gtg.10 分 当10tgttgt 上为增函数在)1,()(tg，故上为减函数在故)1,()(,0)1()(tggtg=0)1()(gtg，1.12 分 21.解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则1qp=.所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq，呈阳性反应的概率为 1kq.依题意可知111Xkk=+，所以 X 的分布列为：.5 分（2）方案中.结合（1）知每个人的平均化验次数为：E(X)=111(1)(1)1kkkqqqkkk+=+.7 分 所以当 k
9、=2 时，E(X)=210.91=0.692+，此时 1000 人需要化验的总次数为 690 次，.8 分 k=3 时，E(X)=310.910.60433+，此时 1000 人需要化验的总次数为 604 次，.9 分 k=4 时，E(X)=410.91=0.59394+，此时 1000 人需要化验的次数总为 594 次，.10 分 即 k=2 时化验次数最多，k=3 时次数居中，k=4 时化验次数最少 而采用方案则需化验 1000 次，故在这三种分组情况下，相比方案，当 k=4 时化验次数最多可以平均减少 1000-594=406 次.12 分 X k1 k11+P kq 1kq 理科数学答
10、案 第 5 页 （共 6 页）22解:（1）由+=+=tytx3331消t 得，03=yx即xy33=2 分 2C 是过原点且倾斜角为6 的直线 2C的极坐标方程为)(6R=5 分（2）由=)sin1(6a得，=62a)6,2(aA 由=)sin1(67a得=6723a)67,23(aB.2232aaaAB=+=10 分 23.解：(1)当 a1 时，f()x 2x1，x1，3，1x2，2x1，x2，EA2 分 当 x1 时，由 f()x 7 得2x17，解得 x3；当1x2 时，f()x 7 无解；当 x2 时，由 f()x 7 得 2x17，解得 x4，所以 f()x 7 的解集为(，3)4，.5分(2)若axxxf24)(+的解集包含2,0 等价于242+xxaxax在2,0 x上恒成立，因为2,0 x时，224=xx 所以22+axax在2,0 x上恒成立6 分 由于2,0 x 若0 a即0a时，22|2|=+=+aaxaxaxax恒成立；7 分 若2 a即2a时，22|2|=+=+aaxaxaxax恒成立；8 分 若20a即02a时，2+ax，2|2|+axax恒成立.9 分 综上所述，满足条件的实数 a 的取值范围是 R.10 分 理科数学答案 第 6 页 （共 6 页）