1、专题五综合测试题(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知无穷数列an是各项均为正数的等差数列，则有()A.a4a6a6a8D.a4a6a6a8解析：a4a8(a13d)(a17d)a2110a1d21d2，a26(a15d)2a2110a1d25d2，故a4a6a6a8.答案：B2已知数列an的前 n 项和 Snn29n，第 k 项满足 5ak8，则 k()A9 B8C7 D6解析：由题意知，数列an为等差数列，anSnSn12n10，由 52k108，kN*，得到 k8.答案
2、：B3对于非零实数 a、b，“b(ba)0”是“ab1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：a0，b0，故有 b(ba)0bab 01ab0ab1.故选 C.答案：C4已知函数 f(x)x24x，x04xx2，xf(a)，则实数a 的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析：由题知 f(x)在 R 上是增函数，可得 2a2a，解得2a0 时，S31q1q12 q1q3，当公比 qqD不确定解析：qabmadn nbcm cdab2 abcdcd abcdp，故选 B.答案：B10设 Sn123n，nN*，则函数 f(
3、n)Snn32Sn1的最大值为()A.120 B.130C.140 D.150解析：由 Snnn12得 f(n)nn32n2nn234n641n64n 3412 6434 150，当且仅当 n64n，即 n8 时取等号，即 f(n)maxf(8)150.答案：D11设变量 x，y 满足约束条件xy0 xy1x2y1，则目标函数 z5xy 的最大值为()A4 B5C6 D7解析：如图，由图可知目标函数 z5xy 过点 A(1,0)时 z 取得最大值，zmax5.答案：B12an为等差数列，若a11a101，且它的前 n 项和 Sn 有最大值，那么当 Sn 取得最小正值时，n()A11 B17C1
4、9 D21解析：等差数列an的前 n 项和 Sn 有最大值，则公差小于零又a11a101，则有 a110，a10a110，S200，anan120，即 anan12，数列an是等差数列18(本小题满分 12 分)(2011山东青岛十九中模拟)等差数列an的各项均为正数，a13，前 n 项和为 Sn，等比数列bn中，b11，b2S264，ban是公比为 64 的等比数列(1)求 an 与 bn；(2)证明：1S1 1S2 1S3 1Sn34.解：(1)设an的公差为 d，d 为正数，bn的公比为 q，则an3(n1)d，bnqn1.依题意有ban1ban q3nd1q3n1d1qd6426S2b
5、26dq64，由(6d)q64 知 q 为正有理数，又由 q2 6d 知，d 为 6 的因数 1,2,3,6 之一，解之得 d2，q8.故 an2n1，bn8n1.(2)证明：由(1)知 Snn(n2)，1S1 1S2 1S3 1Sn 113 124 1351nn212113121413151n 1n212112 1n1 1n2 5 372或 n5 3723(2n1)，当 n5(nN*)时，有 316Tn4(n1)bn1.同理可得，当5 372n5 372时，有 n(n1)4(n1)bn1.综上，当 n5(nN*)时，有 316Tn4(n1)bn1.20(本小题满分 12 分)某商店投入 81
6、 万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共 60 天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第 n 天的利润 an1，1n20110n，21n60(单位：万元，nN*)记第 n 天的利润率 bn第n天的利润前n天投入的资金总和，例如 b3a381a1a2.(1)求 b1，b2 的值；(2)求第 n 天的利润率 bn；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率解：(1)当 n1 时，b1 181；当 n2 时，b2 182.(2)当 1n20 时，a1a2a3an1an1.bnan81a1a2an1181n1
7、1n80.当 21n60 时，bnan81a1a20a21an1110n8120a21an1110n101n21n2020 2nn2n1600，第 n 天的利润率bn1n80，1n20nN*，2nn2n1600，21n60nN*.(3)当 1n20 时，bn1n80是递减数列，此时 bn 的最大值为b1 181；当 21n60 时，bn2nn2n16002n1600n 122 16001279(当且仅当 n1600n，即 n40 时，“”成立)又 279 181，当 n40 时，(bn)max 279.该商店经销此纪念品期间，第 40 天的利润率最大，且该天的利润率为 279.21(本小题满分
8、 12 分)(2011广东潮州模拟)设数列an的前 n 项和为 Sn，且对任意的 nN*，都有 an0，Sn a31a32a3n.(1)求 a1，a2 的值；(2)求数列an的通项公式 an；(3)证明：an2n1an2nan2n1.解：(1)当 n1 时，有 a1S1 a31，由于 an0，所以 a11.当 n2 时，有 S2 a31a32，即 a1a2 a31a32，将 a11 代入上式，由于 an0，所以 a22.(2)由 Sn a31a32a3n，得 a31a32a3n(a1a2an)2，则有 a31a32a3na3n1(a1a2anan1)2.得a3n1(a1a2anan1)2(a1
9、a2an)2.由于 an0，所以 a2n12(a1a2an)an1.同样有 a2n2(a1a2an1)an(n2)，得 a2n1a2nan1an.所以 an1an1.由于 a2a11，即当 n1 时都有 an1an1，所以数列an是首项为 1，公差为 1 的等差数列故 ann.(3)证明：要证 an2n1an2nan2n1，只需证(2n1)n(2n)n(2n1)n，只需证1 12nn11 12nn.由于1 12nn1 12nnC0nC1n12n C2n12n2C3n12n3 C0nC1n12n C2n12n2C3n12n32C1n12n C3n12n3C5n12n512C3n12n3C5n12n5 1，因此原不等式成立22(本小题满分 14 分)已知命题：“若数列an是等比数列，且 an0，令 bnn a1a2an，则数列bn(nN*)也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论解：由题意，得等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，令 bna1a2ann，则数列bn(nN*)也是等差数列证明这个结论：设等差数列an的公差为 d，则 bna1a2annna1nn12dna1d2(n1)，所以数列bn是以 a1 为首项，d2为公差的等差数列，故所得命题成立