1、13.1正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数yAsin(x)预习课本P4449，思考并完成以下问题 (1)函数yAsin(x)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将ysin(x)(其中0)的图象怎样变换，能得到ysin x的图象？(3)函数yAsin x，xR(A0且A1)的图象，可由正弦曲线ysin x，xR怎样变换得到？(4)函数ysin x，xR(0且1)的图象，可由正弦曲线ysin x，xR怎样变换得到？ 1函数yAsin(x)，A0，0中参数的物理意义点睛当A0或0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相.如函数ysin的初相不是.2，A对函数ys
2、in(x)图象的影响(1)对函数ysin(x)，xR的图象的影响(2)(0)对ysin(x)的图象的影响(3)A(A0)对yAsin(x)的图象的影响点睛(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系(2)越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系(3)大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yAsin(x)，xR的最大值为A.()(2)函数y3sin(2x5)的初相为5.()(3)由函数ysin的图象得到ysin x的图象，必须向左平移()(4)把函数ysin x的图象上
3、点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数ysin 3x的图象()答案：(1)(2)(3)(4)2函数ysin的周期、振幅、初相分别是()A3，B6，C3，3， D6，3，答案：B3为了得到函数ysin(x1)的图象，只需把函数ysin x的图象上所有的点()A向左平行移动1个单位长度B向右平行移动1个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度答案：A4将函数ysin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得_的图象答案：ysin 4x函数yAsin(x)的图象变换典例说明y2sin1的图象是由ysin x的图象经过怎样变换得到的解法一先伸缩后平移ysin x的图象y2s
4、in x的图象y2sin 2x的图象y2sin的图象y2sin1的图象法二先平移后伸缩ysin x的图象y2sin x的图象y2sinx的图象y2sin的图象y2sin1的图象由函数ysin x的图象通过变换得到函数yAsin(x)的图象的步骤活学活用1将函数ysin向左平移个单位，可得到函数图象是()Aysin 2xBysinCysin Dysin解析：选Cysin 的图象ysinsin的图象2把函数yf(x)的图象向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数ysin x的图象，则yf(x)的解析式为()Aysin1
5、Bysin1Cysin1 Dysin1解析：选B将函数ysin x的图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变)，得到函数ysin 2x的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数ysin 2x1的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数ysin 21sin2x1的图象故选B.由图象确定函数的解析式典例如图是函数yAsin(x)A0，0，|的图象的一部分，求此函数的解析式解法一逐一定参法由图象知A3，T，2，y3sin(2x)点在函数图象上，03sin.2k，得k(kZ)|0，0)的图象的一部分，试求该函数的解析式解：由图可得：A，T2|MN|.从而2，故ysin(2x)，又2
6、2 k，kZ，2 k，kZ.ysin.正弦型函数图象的对称性典例在函数y2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是_解析设4xk(kZ)，得x(kZ)函数y2sin图象的对称中心坐标为(kZ)取k1得满足条件答案正弦型函数对称轴、对称中心的求法对称轴对称中心yAsin(x)令xk(kZ)令xk(kZ)求对称中心横坐标活学活用 将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y轴最近的一条对称轴方程为_解析：由4xk，得x，取k0时，x满足题意答案：x三角函数在实际生活中的应用典例已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin，
7、t0，)用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？解列表如下，t2t02sin01010s04040描点、连线，图象如图所示(1)将t0代入s4sin，得s4sin 2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm.(3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s.解三角函数应用问题的基本步骤活学活用通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数yAsin(x)b的图象.20
8、18年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 .(1)求出该地区该时段的温度函数yAsin(x)b(A0，0，|，x)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解：(1)由题意知解得易知142，所以T24，所以，易知8sin62，即sin1，故22k，kZ，又|，得，所以y8sin6(x0,24)(2)当x9时，y8sin68sin68sin610.所以届时学校后勤应该开空调层级一学业水平达标1最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是()AysinB
9、ysinCysin Dysin解析：选D由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.2为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin x的图象()A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向上平移个单位长度 D向下平移个单位长度解析：选B将函数ysin x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为ysin.3已知简谐运动f(x)2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()AT6，BT6，CT6， DT6，解析：选AT6，图象过(0,1)点，sin .，.4将函数ysin的图象向左平移个单位长度，则平移后的函数图象()A关于直线x对称 B关于直线x对称
10、C关于点对称 D关于点对称解析：选A函数ysin的图象向左平移个单位长度，得到ysinsin的图象，其对称轴方程为xk，kZ，即xk，kZ，令k0，得x，故选A.5函数ysin在区间上的简图是()解析：选A当x0时，ysin0)的图象如图所示，则_.解析：由题意设函数周期为T，则，T.答案：8将函数ysin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数_的图象解析：ysin的图象ysin的图象答案：ysin9已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与ysin x的图象相同，求f(x)的解析式解：
11、反过来想，ysin x ysinysin，即f(x)sin.10已知函数yAsin(x)(A0，0，|)的图象的一段如图所示，求它的解析式(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的最小正周期、频率、振幅、初相解：(1)由图象可知A2，T，.将N代入y2sin得，2sin2，2k，2k(kZ)|，.函数的解析式为y2sin.(2)由(1)，知f(x)的最小正周期为8，频率为，振幅为2，初相为.层级二应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式yAsin(t)2，则()A，A3
12、B，A3C，A5 D，A5解析：选B由题意知A3，.2要得到函数ysin 的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位解析：选B由ysinsin 4得，只需将ysin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.3已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则该函数的图象()A关于直线x对称 B关于点对称C关于直线x对称 D关于点对称解析：选A依题意得T，2，故f(x)sin，所以fsinsin1，fsinsin，因此该函数的图象关于直线x对称，不关于点和点对称，也不关于直线x对称故选A.4把函数ysin的图象向右平移个单位长度，再把
13、所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数图象的解析式为()Aysin BysinCysin Dysin解析：选D将原函数图象向右平移个单位长度，得ysinsin的图象，再把ysin的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得ysin的图象5将函数ysin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标_(填“伸长”或“缩短”)为原来的_倍，将会得到函数y3sin的图象解析：A30，故将函数ysin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y3sin的图象答案：伸长36将函数f(x)sin(x)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到ysin x的图象，
14、则f_.解析：将ysin x的图象向左平移个单位长度可得ysin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得ysin的图象，故f(x)sin，所以fsinsin.答案：7求函数ysin图象的对称轴、对称中心解：令2xk(kZ)，得x(kZ)令2xk，得x(kZ)即对称轴为直线x(kZ)，对称中心为(kZ)8.如图为函数f(x)Asin(x)的一个周期内的图象(1)写出f(x)的解析式；(2)若yg(x)与yf(x)的图象关于直线x2对称，写出g(x)的解析式；(3)指出g(x)的周期、频率、振幅、初相解：(1)由图知A2，T7(1)8，f(x)2sin.将点(1,0)代入，得02sin.|，f(x)2sin.(2)作出与f(x)的图象关于直线x2对称的图象(图略)，可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，g(x)2sin2sin.(3)由(2)知，g(x)的周期T8，频率f，振幅A2，初相0.