1、 审稿：高三备课组 责编：严春梅高三数学(理) 北京四中2005-2006学年度第二学期第4次统练一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设A、B是两个集合，对于AB，下列说法正确的是( )A. 存在x0A，使x0B B. BA一定不成立C. B不可能为空集D. x0A是x0B的充分条件2. 定义运算 的复数z为( )A. 3-i B. 1+3i C. 3+i D. 1-3i3. 一工厂生产了某种产品24000件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查，已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的
2、个体数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙生产线生产的产品数量是( )A. 12000 B. 6000 C. 4000 D. 80004. 已知(3x+2)n(nN*)的展开式中各项的二项式系数为Sn，各项系数和为Tn，则 的值为( )A. 1 B. 0 C. D.-15. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )A. 3 B. 4 C. D. 66. 若函数f(x)=sinax+cosax(a0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心坐标为( )A. 7. 函数 的图像大致是 8. 已知f(x)=x3-3x2+2，x(0，2)的反函数为f-1(x)，则(
3、)A. C. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上）9. 不等式 的解集是_。10. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有_种不同的播放方式(结果用数值表示）。11. 已知变量x、y满足 若使z=x+ky最小值的最优解有无穷多个，则k的值是_。12. 已知数列an满足： ，则a10等于_。13. 设F1、F2为曲线C1： 的焦点，P是曲线C2： 与C1的一个交点，则 的值为_。14. 将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶
4、点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”，请仿照直角三角形以下的性质：(1)斜边的中线长等于斜边长的一半；(2)两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；(3)斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1.写出直角三棱锥性质(至少一条)：_。三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在相应题目的答题区域内作答）15. (本小题满分12分)设 且 的值。16. (本小题满分12分)某中学篮球队进行投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直投到4次为止，已知运动员甲的投篮命中率为0.7。(1)求一轮练习中运动员甲的投篮次
5、数的分布列，并求出的期望E(结果保留两位有效数字)；(2)求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率。17. (本小题满分14分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=AA1=2，CAB=60。(1)求证：A1CB1C1；(2)求点B1到平面A1BC的距离；(3)求二面角C1-A1B-C的大小。18. (本题满分14分)本题共有2个小题，每1小题满分6分，第2小题满分8分。学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验。设计方案如图：航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为 ，在C点变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
6、D(8，0).观测点A(4，0)、B(6，0)同时跟踪航天器。(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方，地面指挥中心向航天器发出变轨指令时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少？19. (本题满分14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分设函数f(x)=|x2-4x-5|(1)在区间-2，6上画出函数f(x)的图像；(2)设集合A=x|f(x)5， ，试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；(3)当k2时，求证：在区间-1，5上，y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方。 20. (本题满分14分)本题共有3个小
7、题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分。已知数列a1，a2，a30，其中a1，a2，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，a30是公差为d2的等差数列(d0)(1)若a20=40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列。提出同(2)类似的问题(2)应当作为特列)，并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案：一、选择题：题号12345678答案DADDDCCB二、填空题：9104811-112
8、1314 14. 答(1)斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一；(2)三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方；(3)斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1。15. (本题满分12分)解： sin2x+2sinxcosx-3cos2x=0(sinx+3cosx)(sinx-cosx)=0tanx=-3或tanx=1 16. 解：(1)的可能取值为1，2，3，4，=1时，P(=1)=0.7=2时，P(=2)=0.7(1-0.7)=0.21=3时，P(=3)=0.7(1-0.7)2=0.063=4时，P(=4)=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027的分布列为：1234P0.7
9、0.210.0630.027E=10.7+20.21+30.063+40.027=1.4(2)P(3)=P(=3)+P(=4)=0.063+0.027=0.09017.解法(一)：(1)在ABC中BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=16+4-16cos60=12 ACB=90，即BCAC，由直三棱柱性质知：平面ACC1A1平面ABCBC平面ACC1A1BCA1C ，又BCB1C1B1C1A1C(2)BCB1C1，BC平面ABC，B1C1平面A1CBB1点到平面A1CB的距离等于点C1到平面A1CB的距离，设点B1到平面A1CB的距离为h，则 (3)连结AC1，交A1C于O，过O作O
10、DA1B于D，连结C1D由(1)BC平面ACC1A1得：平面BCA1平面ACC1A1由正方形ACC1A1知AC1A1CC1A平面A1BCOD是C1D在平面A1BC上的射影C1DA1B(三垂线定理)ODC1是二面角C1-A1B-C的平面角在A1BC中， 由 二面角C1-A1B-C的大小是 解法(二)：先证ACB=90，然后以C为原点，分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(略)18. 解：(1)设曲线方程为 -4分曲线方程为 ；(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知： 4y2-7y-36=0 y=4得x=6或x=-6(不合题意，舍去)C点的坐标为(6，4) 答：当观测点
11、A、B测得AC、BC距离分别为 时，应向航天器发出变轨指令。 -14分19. 解：(1)(2)方程f(x)=5的解分别是 ，由于f(x)在 上单调递减，在-1，2和 上单调递增，因此 由于 B A -9分 (3)解法一：当x-1,5时，f(x)=-x2+4x+5g(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)=x2+(k-4)x+(3k-5) k2， 当 16(k-10)264 (k-10)2-640当 ，即k6时，取x=-1，g(x)min=2k0由、可知 ，当k2时，g(x)0，x-1，5因此，在区间-1，5上，y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方。解法二：当x-1，5时，f(x)
12、=-x2+4x+5由 令=(k-4)2-4(3k-5)=0，解得k=2或k=18在区间-1，5上，当k=2时，y=2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1，8)；当k=18时，y=18(x+3)的图像与函数f(x)的图像没有交点由于直线y=k(x+3)过点(-3，0)，当k2时，直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3，0)逆时针方向旋转得到因此，在区间-1，5上，y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方。 -14分20. 解：(1)a10=10，a20=10+10d=40，d=3(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d0) 当d(-，0)(0，+)时， -9分(3)所给数列可推广为无穷数列an，其中a1，a2，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n1时，数列a10n,a10n+1,a10(n+1)是公差为dn的等差数列。研究的问题可以是：试写出a10(n+1)关于d的关系式，并求a10(n+1)的取值范围。研究的结论可以是：由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3)依次类推可得 当d0时，a10(n+1)的取值范围为(10，+)等。 -14分