1、2023 届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120 分钟试卷满分：150 分本试题卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。考试结束后，只收答题卷.第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A x2x2 x 15 0，B 3,1,1,3,5，则 A B （）A1,3B3,1,1C1,1D1,1,32南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中
2、前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第 20 项为（）A172B183C191D2113已知sin2123，则5cos 26（）A79B 59C59D 794已知平面向量a，b 满足3a，1 3b，211ab，则 a在b 上的投影为（）A3B1C2D65若函数 log20,1af xaxaa在区间1,3 内单调递增，则 a 的取值范围是（）A 2,13B20,3C21,3D2,36如图，在直三棱柱111ABCA B C-中，122AAABAC，且,ABAC D E分别是棱1,BC BB 的
3、中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A 2 69B66C579D3067已知函数 e2eln exf xxx，若e2e2021e2022e2023202320232023ffff1011()ab，其中0b，则1|2|aab的最小值为（）A 34B32C 54D228在平面直角坐标系中，已知点2 0M，1 0N ，动点Q xy，满足2QMQN，过点31，的直线与动点Q 的轨迹交于 A，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C，则当 ABC面积取最大值时，直线 AB 的方程是（）A4yxB4yx C24yxD24yx 9已知抛物线22xpy0p 的焦点为 F，A，B 是抛物线上
4、两动点，且 AF 的最小值为1，M 是线段 AB 的中点，2,3P是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A2p B若8AFBF，则 M 到 x 轴的距离为 3C若2AFFB，则3AB D APAF的最小值为 410已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左，右顶点分别是1A，2A，圆222xya与C 的渐近线在第一象限的交点为 M，直线1A M 交C 的右支于点 P，若2MPA 是等腰三角形，且2PA M的内角平分线与 y 轴平行，则C 的离心率为（）A2B2C3D 511已知0 x 是函数 22eexxf x的图象与函数 1lng xxxx的图象交点的横坐标，则020elnxx （）
5、A 2Bln 2Cln 2D212已知函数 2221,0log,0 xxf xx x，若关于 x 的方程2()()4 0f xmf x 有 6 个不同的实数根，则 m 的取值范围是（）A13(,5),43 B13,43 C134,(5,)3 D134,3第 II 卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卷的相应位置.13 22204xxdx_14在三棱锥 PABC 中，2 3PAABPBAC，AC平面 PAB，则三棱锥 PABC 的外接球 O 的体积为_15已知函数 cos0,2fxx，当4x 时函数 fx 能取得最小值，当4x时函数 yf x能取得最大值
6、，且 fx 在区间5,18 26 上单调，则当 取最大值时 的值为_.16已知函数ln(),()e xxf xg xxx，若存在12(0,),Rxx，使得12fxg xk 成立，则下列命题正确的有_当0k 时，121xx当0k 时，212e2exx当0k 时，121xx当0k 时，21ekxx 的最小值为1e三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17已知数列 na的前 n 项和为nS，且23122nSnn，递增的等比数列 nb满足：1418bb，2332b b(1)求数列 na、nb的通项公式；(2)设 na、nb的前 n 项和分别为nS，
7、nT，求nS，nT 18在 ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 2 coscoscosaAbCcB(1)求 A；(2)若 ABC的面积为6 3，2 7a，求 ABC的周长19春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间 t 相关，时间 t（单位：小时）满足024t，t N.经测算，当1624t 时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数 5160 人，当 016t 时，候车人数会减少，减少人数与(16)tt成正比，且时间为 6 点时，候车人数为 3960 人，记候车厅候车人数为()f t.(1)求()f
8、 t 的表达式，并求当天中午 12 点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320f tPt，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20如图，已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 为正方形，二面角 S-AB-D 为直二面角，SAB=SBA，点 M 为线段 AD 的中点.(1)证明：SDMC；(2)若 SA=AB，点 N 是线段 BD 上靠近点 B 的三等分点，求直线 SA 与平面 SMN所成角的正弦值.21已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，点0,2G与椭圆的左右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准
9、方程；(2)若直线 ykxm与椭圆C 交于 M，N 两点，O为坐标原点，直线 OM，ON 的斜率之积等于34，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由.22已知函数 lnlnf xxax，其中0a 且1a (1)讨论函数 fx 的单调性；(2)若 1elnfxaa在0,上恒成立，求实数 a 的取值范围32023 届高三第一学期12月月考理科数学答案1D2C3C4B5B6A7A8A9C10B11A12A13 83 14 28 73 1521617（1）当1n 时，1131222aS，当2n 时，221313111312222nnnaSSnnnnn，又3112，满足上式故 na的通项公式为31na
10、n，设等比数列 nb的公比为q，因为1418bb，231432bbb b，所以41,b b 可看作方程218320 xx的两根，解得：14216bb或14162bb，因为等比数列单调递增，所以14162bb舍去，故31682q，解得：2q=，故 nb的通项公式为12 22nnnb；（2）因为31nan，所以13nnaa，故 na为等差数列，由等差数列求和公式得：212313222nnSn aannnn，由等比数列求和公式得：12 1 2221 2nnnT.18（1）因为 2 coscoscosaAbCcB，由正弦定理可得：2sincossincossincosAABCCB，所以 2sincos
11、sinAAA，因为sin0A，所以1cos2A，由于0A，所以3A（2）由于6 3ABCS，所以 1sin6 32 bcA，解得24bc 在 ABC中，由余弦定理可得：2222cosabcbcA，整理得2252bc，所以2()252bcbc，所以10bc故三角形的周长为102 7labc19（1）当 016t 时，设()5160(16)f tktt，(6)3960f，则20k，516020 16,(01)5160,1624tttf ttNt .(12)516020 1244200f，故当天中午 12 点时，候车厅候车人数为 4200 人.（2）10020,(016)2000320,1624tt
12、tPtNtt ，当 016t 时，1001002020 2400Ptttt，当且仅当10t 时等号成立；当1624t 时，200032040324P；又 403400，所以10t 时，需要提供的矿泉水瓶数最少.20（1）取 AB 的中点 O，连接 SO，DO，因为SABSBA，所以 SASB，所以 SOAB.2又二面角 SABD为直二面角，所以 SO 平面 ABCD，且 MC 平面 ABCD,所以 SOMC.在正方形 ABCD 中，O，M 分别为 AB，AD 的中点，所以 DAOCDM，所以ODMMCD，又90MCDDMC，所以ODMDMC 90，所以 MCDO.因为ODOSO，OD 平面 S
13、OD，OS 平面 SOD，所以 MC 平面 SOD，又 SD 平面 SOD，所以 MCSD.（2）取 CD 的中点G，连接 OG，由（1）可知 OB，OS，OG 两两垂直.以O为坐标原点，OB，OS，OG 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设 AB=2，则(1,0,0)A，(1,0,0)B，(0,0,3)S，1,1,0M，(1,2,0)D 1,1,3SM ，1,0,3,AS，(2,2,0)BD ，2,1,0BM ，则12 2,033 3BNBD，41,033MNBNBM.设平面 SMN 的法向量为(,)nx y z，由题意得3041033n SMxyzn
14、MNxy ，令1y ，得13,1,44n.设直线 SA 与平面 SMN 所成的角为，则2222221310 13445sin513103144AS nn AS ，故直线 SA 与平面 SMN 所成角的正弦值为55.21（1）解：椭圆2222:1(0)xyCabab离心率为12，即12cea，点0,2G与椭圆的左右顶点可以构成等腰直角三角形，2a，1c ，3b，故椭圆C 的方程为22143xy.（2）解：由直线与椭圆交于 M，N 两点，设11,M x y，22,N xy，则联立22,1,43ykxmxy得222348430kxkmxm，22222(8)16 34348 430kmkmkm，则22
15、43km122834kmxxk，21224334mx xk22121212121212121212OMONkxmkxmk x xmk xxmyyy ykkxxx xx xx x22222222224383434344343kmk mmkmkmm.22243mk，2222212224 34 3 43111342mkmMNkxxkkkm.原点O到l 的距离21mdk，2224 31 132221OMNMNmmSdkmk为定值.3（1）lnlnf xxax定义域为0,，1lnfxax，当 01a 时，ln0a，故 1ln0fxax恒成立，此时 lnlnf xxax在0,上单调递减，当1a 时，令 1
16、ln0fxax，解得：1lnxa，令 1ln0fxax，解得：10lnxa，故 fx 在10,ln a 上单调递减，在1,ln a 上单调递增，综上：当 01a 时，fx 在0,上单调递减；当1a 时，fx 在10,ln a 上单调递减，在1,ln a 上单调递增.（2）解：由题意得lnln1elnxaxaa在0,上恒成立，即ln1eelnxxaa，令1x ，故ea，接下来进行充分性证明：令 leelnnaxxg x，则 ee ln11xagx，令 0gx，解得：1lnxa，故当10,lnxa 时，0g x，当1,lnxa 时，0gx，故函数 leelnnaxxg x 在10,lnxa 上单调递减，在1,lnxa 上单调递增，故 leelnnaxxg x 在1lnxa处取得极小值，也是最小值，minln ln11lnle nelnagaxgaa，故只需证明ln ln1elnlnaaaa恒成立，当ea 时，令 lnexm xxx，故 21 ln0 xm xx，即函数 m x 在e,上单调递减，故 1eem am，即 ln1eaa，故 1eln aa，而由ea 可知0lln lnnaa，故ln ln1elnlnaaaa恒成立，所以，实数 a 的取值范围是e,22