1、2021年安徽省“五校联盟”高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1设集合Ax|x210，Bx|log2x0，则AB（）Ax|x0Bx|x1Cx|x1Dx|x1或x12已知a，bR，i是虚数单位，若（1+i）（1bi）a，则的值为（）A2B3C4D53下列说法中错误的是（）A命题“x1，x2x0”的否定是“x01，x02x00”B在ABC中，ABsinAsinBcosAcosBC已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变D从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立4某
2、三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（）A2BCD5已知平面向量（，1），|，且（+2）（）2，则|（）AB2CD36电影流浪地球中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”2019年，公安部交通管理局下发关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见
3、图，且图表所示的函数模型f（x）假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（nN*）小时才可以驾车，则n的值为（）（参考数据：ln152.71，ln303.40）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车20，80）醉酒驾车80，+）A5B6C7D87古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美如清代诗人黄柏权的茶壶回文诗（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（2020020
4、2）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，99），则共有多少个这样的三位回文数（）A64B72C80D908设alog54，bln2，c0.1，则（）AabcBbacCcbaDacb9f（x）2f（4x）x2+2x1，则yf（x）在（2，f（2）处的切线方程为（）A2xy30B2x+3y+70C2xy+30D2x+3y7010已知ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，当内角C最大且b3时，ABC的面积等于（）ABCD11如图，已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F1的直线与
5、双曲线C的左支交于A、B两点，连接AF2，BF2，在ABF2中，ABBF2，cosABF2，则双曲线的离心率为（）A2BCD12已知函数，x1、x2、x30，且x0，都有f（x1）f（x）f（x2），满足f（x3）0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：满足题目条件的实数x1有且只有1个；满足题目条件的实数x2有且只有1个；f（x）在上单调递增；的取值范围是其中正确的个数是（）A1B2C3D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若实数x，y满足约束条件，则z3x+2y的最小值是 14若二项式的展开式的各项系数之和为1，则含x1项的系数是 15已知抛物线y22px（p0）的焦
6、点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|3|FB|，则线段AB的中点到y轴的距离为 16已知菱形ABCD的边长为4，对角线BD4，将ABD沿着BD折叠，使得二面角ABDC为120，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17已知数列an，Sn是an的前n项的和，且满足，数列bn是等差数列，b2+b6a4，a5b42b6（1）求an，bn的通项公式；（2）设数列Sn的前n项和为Tn，设，求cn的前n
7、项的和Dn18如图，在三棱锥ABCD中，ABC是边长为3的等边三角形，CDCB，CD平面ABC，点M、N分别为AC、CD的中点，点P为线段BD上一点，且BM平面APN（1）求证：BMAN；（2）求直线AP与平面ABC所成角的正弦值19已知圆C：（x1）2+y216，点F（1，0），P是圆C上一动点，若线段PF的垂直平分线和CP相交于点M（1）求点M的轨迹方程E（2）A，B是M的轨迹方程与x轴的交点（点A在点B左边），直线GH过点T（4，0）与轨迹E交于G，H两点，直线AG与x1交于点N，求证：动直线NH过定点20公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕
8、斯卡（BPascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（CHuygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名运动员约定谁先赢k（k1，kN*）局，谁便赢得全部奖金a元每局甲赢的概率为p（0p1），乙赢的概率为1p，且每场比赛相互独立在甲赢了m（mk）局，乙赢了n（nk）局时，比赛意外终止奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金（1）规定如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、
9、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金若k4，m2，n1，求P甲：P乙（2）记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当k4，m2，n1时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率f（p），并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件21已知函数f（x）ex（x2+mx+m2），g（x）ax2+x+axlnx（1）若函数f（x）在x1处取极小值，求实数m的值；（2）设m0，若对任意x（0，+），不等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的值（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作
10、答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的极坐标方程是4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|，试求实数m值（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|x1|（1）求不等式f（x）2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）有解，求a的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合Ax|x210，
11、Bx|log2x0，则AB（）Ax|x0Bx|x1Cx|x1Dx|x1或x1解：由A中不等式变形得：（x+1）（x1）0，解得：x1或x1，即Ax|x1或x1，由B中不等式变形得：log2x0log21，解得：x1，即Bx|x1，则ABx|x1，故选：B2已知a，bR，i是虚数单位，若（1+i）（1bi）a，则的值为（）A2B3C4D5解：由（1+i）（1bi）a，得（1+b）+（1b）ia，则，得a2，b1故选：A3下列说法中错误的是（）A命题“x1，x2x0”的否定是“x01，x02x00”B在ABC中，ABsinAsinBcosAcosBC已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一
12、个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变D从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立解：命题“x1，x2x0”的否定是“x01，x02x00”满足命题的否定形式，所以A确；AB，则ab，利用正弦定理可得 a2rsinA，b2rsinB，故sinAsinB由同角三角函数的基本关系可得cosAcosB，所以B正确；这6个数的平均数为3，方差为2现又加入一个新数据3，此时这7个数的平均数为3，方差为2，所以C不正确；从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”包含：事件：没有红球和事件，只有一个红球；与
13、“都是红球”互斥且对立，所以D正确；故选：C4某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（）A2BCD解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体ABCD；如图所示：所以：CD2，BC2，BD2，AD2，AB2，所以，故选：C5已知平面向量（，1），|，且（+2）（）2，则|（）AB2CD3解：平面向量（，1），|，且（+2）（）2，2，可得2，则|故选：A6电影流浪地球中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”2019年，公安部交通管理局下发关于治理酒
14、驾醉驾违法犯罪行为的指导意见，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型f（x）假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（nN*）小时才可以驾车，则n的值为（）（参考数据：ln152.71，ln303.40）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车20，80）醉酒驾车80，+）A5B6C7D8解：由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令，得，解
15、得n2ln1522.715.42，nN*，n的值为6故选：B7古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美如清代诗人黄柏权的茶壶回文诗（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，99），则共有多少个这样的三位回文数（）A64B72C80D9
16、0解：3位回文数的特点为，百位和个位数字相同但不能为零，第一步，选百位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间数字，有10种选法；故3位回文数有91090个，故选：D8设alog54，bln2，c0.1，则（）AabcBbacCcbaDacb解：0log51log54log551，0a1，0ln1ln2lne1，0b1，又，且ln5lne22，0ba1，0.101，c1，bac，故选：B9f（x）2f（4x）x2+2x1，则yf（x）在（2，f（2）处的切线方程为（）A2xy30B2x+3y+70C2xy+30D2x+3y70解：取x2，得f（2）2f（2）1，可得f（2）1，对函数f（x）2
17、f（4x）x2+2x1求导，得f（x）2f（4x）2x+2，f（2）2f（2）2，得f（2），由此可得曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线斜率k所求切线方程为y1（x2），化简2x+3y70，故选：D10已知ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，当内角C最大且b3时，ABC的面积等于（）ABCD解：因为，由正弦定理得a+b，两边平方，得a2+2ab+b2，所以9（a2+b2c2）5a2+5b28ab，由余弦定理得cosC（2），当且仅当，即ab时取等号，此时cosC取得最小值，C取得最大值，三角形ABC中，sinC，ABC的面积S2故选：C11如图，已知F1，F2分别为双曲线C：的
18、左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A、B两点，连接AF2，BF2，在ABF2中，ABBF2，cosABF2，则双曲线的离心率为（）A2BCD解：设|AF2|m，由双曲线的定义可得|AF1|m2a，由|AB|BF2|，可得m2a|BF2|BF1|2a，即有m4a，因为ABF2为等腰三角形，所以cosABF2cos（2F1AF2）cos2F1AF212cos2F1AF2，解得cosF1AF2，在F1AF2中，cosF1AF2，化为ca，即有e故选：D12已知函数，x1、x2、x30，且x0，都有f（x1）f（x）f（x2），满足f（x3）0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：满足题
19、目条件的实数x1有且只有1个；满足题目条件的实数x2有且只有1个；f（x）在上单调递增；的取值范围是其中正确的个数是（）A1B2C3D4解：0，当x0，时，设进行替换，作出函数ycost的图象如下图所示：由于函数yf（x）在0，上满足f（x3）0的实数x3有且只有3个，即函数ycost在上有且只有3个零点，由图象可知，解得，结论不正确；由图象知，ycost在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论正确，结论错误；当时，由知，所以ycost在上递增，则函数yf（x）在上单调递增，结论正确综上，正确的有故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若实数x，y满足约束条件，则z
20、3x+2y的最小值是1解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），由z3x+2y，得y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1故答案为：114若二项式的展开式的各项系数之和为1，则含x1项的系数是672解：由题意令x1代入二项式可得：（1+a）71，则1+a1，所以a2，所以二项式（x2）7的展开式的通项公式为TC，令143r1，解得r5，所以含x1的系数为C2132672，故答案为：67215已知抛物线y22px（p0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|3|FB|，则线段AB的中点到y轴的距离为解：抛物线y22px（
21、p0）的焦点F到准线的距离为2，可得p2，即有抛物线的方程为y24x，则F（1，0），准线的方程为x1，设直线AB的方程为xmy+1，与抛物线的方程y24x联立，可得y24my40，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y24m，y1y24，由|AF|3|FB|，可得3，即有0y13（y20），由解得m，可得AB的中点的横坐标为2m2+12+1所以线段AB的中点到y轴的距离为故答案为：16已知菱形ABCD的边长为4，对角线BD4，将ABD沿着BD折叠，使得二面角ABDC为120，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为解：将ABD沿BD折起后，取BD中点为E，连接AE，CE，则AEBD，CEBD
22、，所以AEC即为二面角ABDC的平面角，所以AEC120；ABD与BCD是边长为4的等边三角形分别记三角形ABD与BCD的重心为G、F，则，；即EFEG；因为ABD与BCD都是边长为4的等边三角形，所以点G是ABD的外心，点F是BCD的外心；记该几何体ABCD的外接球球心为O，连接OF，OG，根据球的性质，可得OF平面BCD，OG平面ABD，所以OGE与OFE都是直角三角形，且OE为公共边，所以RtOGE与RtOFE全等，因此，所以；因为AEBD，CEBD，AECEE，且AE平面AEC，CE平面AEC，所以BD平面AEC；又OE平面AEC，所以BDOE，连接OB，则外接球半径，所以外接球表面积
23、为故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17已知数列an，Sn是an的前n项的和，且满足，数列bn是等差数列，b2+b6a4，a5b42b6（1）求an，bn的通项公式；（2）设数列Sn的前n项和为Tn，设，求cn的前n项的和Dn解：（1）n1时，a11；n2时，anSnSn1（2an1）（2an11）2an2an1，则an2an1，所以an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；由bn是等差数列，设公差为d，由2b4b2+b6a48，a5b4164
24、2b6，得b44，b66，所以2d64，即d1，所以bnn；（2）由（1）可得，Tn（2+22+23+2n）nn2n+1n2，所以Dn（+）+（+）（+）+（1）n（+）2+（1）n18如图，在三棱锥ABCD中，ABC是边长为3的等边三角形，CDCB，CD平面ABC，点M、N分别为AC、CD的中点，点P为线段BD上一点，且BM平面APN（1）求证：BMAN；（2）求直线AP与平面ABC所成角的正弦值【解答】（1）证明：CDBM，又正ABC中，AMMCBMAC，BM面ACD，BMAN，（1分）（2）解：连接MD交AN于G，连接PG，作PHBC于H，连接AH，PH平面ABC，PAH为AP与平面AB
25、C所成角，（1分）又AN，DM都是ACD的中线，G为ACD的重心 （1分）又BMPG，P为BD的三等分点，（1分）RtAHP中：PH1，（1分）（1分）法二：建立如图空间直角坐标系：（1分），P（33，3，0）（1分）设面APN的法向量为，（1分）令x1，则，（1分）P（2，1，0），（1分）又面ABC的法向量为：，（1分）19已知圆C：（x1）2+y216，点F（1，0），P是圆C上一动点，若线段PF的垂直平分线和CP相交于点M（1）求点M的轨迹方程E（2）A，B是M的轨迹方程与x轴的交点（点A在点B左边），直线GH过点T（4，0）与轨迹E交于G，H两点，直线AG与x1交于点N，求证：动直线
26、NH过定点解：（1）由圆（x1）2+y216，可得圆心C（1，0），半径r4，因为|FC|24，所以点F在圆C内，又由点M在线段PF的垂直平分线上，所以MFMP，所以MC+MFMP+MCPC4，由椭圆的定义知，点M的轨迹是以F，C为焦点的椭圆，其中a2，c1，b23，所以点M的轨迹方程为证明：（2）设直线GH的方程为xmy+4，G（x1，y1），H（x2，y2），A（2，0），B（2，0），将xmy+4代入，得（3m2+4）y2+24my+360，相交，0，设直线AG的方程为，令x1得，N（1，）0，所以直线NH恒过（2，0）20公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另
27、一位著名的数学家帕斯卡（BPascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（CHuygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名运动员约定谁先赢k（k1，kN*）局，谁便赢得全部奖金a元每局甲赢的概率为p（0p1），乙赢的概率为1p，且每场比赛相互独立在甲赢了m（mk）局，乙赢了n（nk）局时，比赛意外终止奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金（1）规定如果出现无人先赢k局则比赛意
28、外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金若k4，m2，n1，求P甲：P乙（2）记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当k4，m2，n1时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率f（p），并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件解：（1）设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部奖金当X2时，甲以4：1赢，所以；当X3时，甲以4：2赢，所以；当X4时，甲以4：3赢，所以所以，甲赢的概率为所以，P甲：P乙243：
29、13；（2）设比赛继续进行Y局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢当Y3时，乙以4：2赢，P（Y3）（1p）3；当Y4时，乙以4：3赢，；所以，乙赢得全部奖金的概率为P（A）（1p）3+3p（1p）3（1+3p）（1p）3于是甲赢得全部奖金的概率f（p）1（1+3p）（1p）3求导，f（p）3（1p）3（1+3p）3（1p）2（1）12p（1p）2因为，所以f（p）0，所以f（p）在上单调递增，于是故乙赢的概率为，故事件A是小概率事件21已知函数f（x）ex（x2+mx+m2），g（x）ax2+x+axlnx（1）若函数f（x）在x1处取极小值，求实数m的值；（2）设m0，若对任意x（0，+），
30、不等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的值解：（1）f（x）exx2+（m+2）x+m2+m，由题意得f（1）0，即m1，当m1时，f（x）ex（x+1）（x+2），此时f（x）在（2，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，符合题意；当m1时，f（x）ex（x+1）x，此时f（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，不符合题意综上可得，m1（2）由f（x）g（x）得xex1a（x+lnx）0，指数化得不等式ex+lnx1a（x+lnx）0恒成立，令tx+lnx，则tR，不等式etat10恒成立，令h（t）etat1，tR，则h（t）eta，当a0时，h（t）0，h（t）单调递增，h
31、（1）+a10，不符合题意；当a0时，令h（t）0，得xlna，当x（，lna）时，h（t）0，h（t）单调递减，当x（lna，+）时，h（t）0，h（t）单调递增，所以h（t）minh（lna）aalna1，所以aalna10，即lna+10，令（a）lna+1，则（a），所以（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，又（1）0，所以a1（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的极坐标方程是4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
32、：（t是参数）（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|，试求实数m值（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围解：（1）曲线C的极坐标方程是4cos，即24cos，化为直角坐标方程是：x2+y24x，即（x2）2+y24；直线l的直角坐标方程为：yxm，圆心（2，0）到直线l的距离（弦心距）为d，圆心（2，0）到直线yxm的距离为：即，|m2|1，解得m1或m3； （2）曲线C的方程可化为（x2）2+y24，其参数方程为（为参数）；又M（x，y）为曲线C上任意一点，x+y2+2cos+2sin2+2sin（+），x+y的取值范围是选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|x1|（1）求不等式f（x）2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）有解，求a的取值范围解：（1）函数f（x）|2x+1|x1|，当x1时，不等式化为x+22，解得x0，可得x；当x1时，不等式化为3x2，解得x，可得x；当x时，不等式化为x22，解得x4，可得4x；综上可得，原不等式的解集为（4，）；（2）关于x的不等式f（x）a有解，即为：f（x）mina，由x1时，x+23；x1时，3x3：x时，x2可得f（x）min，即有a，解得1a3；所以a的取值范围是1，3