1、二随机变量及其分布1条件概率的性质(1)非负性：0P(B|A)1.(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2相互独立事件的性质(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(AB)P(A)P(B)P(AB)3二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的(2)各次试验中的事件是相互独立的(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件
2、发生的次数4均值与方差的性质(1)若ab(a，b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，E()E(ab)aE()b.(2)D(ab)a2D()(3)D()E(2)E()2.5正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(X)0.682 7.(2)P(2X 2)0.954 5.(3)P(3X3)0.997 3.1求分布列时要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正2要注意识别独立重复试验和二项分布3在记忆D(aXb)a2D(X)时要注意D(aXb)aD(X)b，D(aXb)aD(X)4易忽略判断随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误主题1条件概率口袋中有2个白球和4
3、个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？【解】记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共65个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有45个，所以P(A).(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共65个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有43个，所以P(AB).(3)利用
4、条件概率的计算公式，可得P(B|A).条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)求解(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)求解其中(2)常用于古典概型的概率计算问题 (2018河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A. B.C. D.解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)，P(AB)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次
5、闭合出现红灯的概率是P(B|A).故选C.主题2相互独立事件的概率与二项分布为了解某校今年高三毕业班报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为123，其中第2组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60 kg的学生人数，求X的分布列【解】(1)设该校报考飞行员的人数为n，前三个小组的频率分别为p1，p2，p3，则由条件可得解得p10.125，p20.25，p30.375.又p20.25，解得n48，所以
6、该校报考飞行员的总人数为48.(2)由(1)可得，估计抽到一个报考学生的体重超过60 kg的概率为P1(0.1250.25)，依题意有XB，故P(Xk)C，k0，1，2，3.所以随机变量X的分布列为X0123P求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系(3)公式“P(AB)1P(A B)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产
7、品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望解：记E，F，由题设知P(E)，P(E)，P(F)，P(F)，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立(1)记H，则HE F，于是P(H)P(E)P(F)，故所求的概率为P(H)1P(H)1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X0)P(E F)，P(X100)P(EF)，P(X120)P(EF)，P(X220)P(E
8、F).故所求的分布列为X0100120220P数学期望为E(X)0100120220140.主题3离散型随机变量的均值与方差(2017高考全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30
9、)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？【解】(1)由题意知，X所有可能取值为200，300，500，由表格数据知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，因此只需考虑200n500.当200n500时
10、，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20，25)，则Y63002(n300)4n1 2002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n.因此E(Y)2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当200n300时，若最高气温不低于20，则Y6n4n2n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n.因此E(Y)2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n.所以n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元求离散型随机变量的期望与方差的步骤 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面
11、分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字)(1)设随机变量表示一次掷得的点数和，求的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E()，D()解：(1)由已知，随机变量的取值为：2，3，4，5，6.投掷一次正方体骰子所得点数为X，则P(X1)，P(X2)，P(X3)，即P(2)，P(3)2，P(4)2，P(5)2，P(6).故的分布列为P23456(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p，由(1)知，p，因为随机变量B，所以E()np10，D()np(1p)10.主题4正态分布设XN(10，1)(1)证明：P(1X2)P(18X19)
12、；(2)设P(X2)a，求P(10X18)【解】(1)因为XN(10，1)，所以，正态曲线，(x)关于直线x10对称，而区间(1，2)和(18，19)关于直线x10对称，所以，(x)dx，(x)dx，即P(1X2)P(18X19)(2)因为P(X2)P(2X10)P(10X18)P(X18)1，P(X2)P(X18)a，P(2X10)P(10X18)，所以，2a2P(10X18)1，即P(10X0)对目标概率进行转化求解 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(1，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(参考数据：若XN(，2)，则P(X)68.27
13、%，P(2X2)95.45%，P(32)0.023，则P(22)()A0.447 B0.628C0.954 D0.997解析：选C.因为随机变量服从标准正态分布N(0，2)，所以正态曲线关于x0对称又P(2)0.023，所以P(2)0.023.所以P(22)120.0230.954.2船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元根据预测知，天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是()A2 000元 B2 200元C2 400 D2 600元解析：选B.出海效益的均值为E(X)5 0000.6(10.6)(2 000)3 0008002
14、 200(元)3盒中装有10个乒乓球，其中5个新球，5个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为()A. B.C. D.解析：选C.A，B，则n(A)CC，n(AB)CC.所以P(B|A).4某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为()AC BACC DC解析：选B.根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为C，恰有两次连续击中目标的概率为，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为CA.5甲命题：若随机变量N(3，2)，若P(2)0.3，则P(4)0.
15、7.乙命题：随机变量B(n，p)，且E()300，D()200，则p，则正确的是()A甲正确，乙错误 B甲错误，乙正确C甲错误，乙也错误 D甲正确，乙也正确解析：选D.随机变量服从正态分布N(3，2)，所以曲线关于3对称，所以P(4)1P(2)0.7，所以甲命题正确；随机变量B(n，p)，且E()np300，D()np(1p)200，解得p，所以乙命题正确6袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X是取得红球的次数，则E(X)_解析：每一次摸得红球的概率为，由XB(4，)则E(X)4.答案：7两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中有35个合
16、格，乙加工了60个，其中有50个合格，令事件A为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，事件B为“从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P(A|B)_解析：由题意知P(B)，P(AB)，故P(A|B).答案：8一只蚂蚁位于数轴x0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x1处的概率为_解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x1处的概率为C()2()1.答案：9甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“入市”若三人在圈定的10支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相
17、同)(1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一支股票的概率；(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率解：(1)三人恰好买同一支股票的概率为P110.(2)三人中恰好有两人买到同一支股票的概率为P210C.由(1)知，三人恰好买到同一支股票的概率为P1，所以三人中至少有两人买到同一支股票的概率为PP1P2.10某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放”演讲比赛活动(1)设所选3人中女生人数为，求的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)解：(1)的
18、所有可能取值为0，1，2.依题意P(0).P(1).P(2).所以的分布列为012P(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C).所以所求概率为P(C)1P(C)1.(3)P(B)，P(B|A).B能力提升11为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销运动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设
19、甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E( )解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，两人都付0元的概率为P1，两人都付40元的概率为P2，两人都付80元的概率为P3(1)(1)，则两人所付费用相同的概率为PP1P2P3.(2)由题意得，所有可能的取值为0，40，80，120，160.P(0)，P(40)，P(80)，P(120)，P(160)，所以的分布列为04080120160PE()0408012016080.12某学校的功能室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命(单位：月)服从正态分布N(，2)，且使用寿命不少于12个
20、月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.(1)求这种灯管的平均使用寿命；(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)求至少两支灯管需要更换的概率解：(1)因为N(，2)，P(12)0.8，P(24)0.2，所以P(12)0.2，显然P(24)由正态分布密度函数的对称性可知，18，即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为10.80.2，假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为支，则B(4，0.2)，故至少两支灯管需要更换的概率P1P(0)P(1)1C0.84C0.830
21、.210.18.13(选做题)(2017山西太原二模)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽奖规则如下：1抽奖方案有以下两种：方案a：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中2抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方
22、案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次)已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元(1)若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望；(2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？解：(1)按方案a抽奖一次，获得奖金的概率P.顾客A只选择方案a进行抽奖，则其可以按方案a抽奖三次此时中奖次数服从二项分布B.设所得奖金为w1元，则E(w1)3309.即顾客A所获奖金的期望为9元(2)按方案b抽奖一次，获得奖金的概率P1.若顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，则由方案a中奖的次数服从二项分布B1，由方案b中奖的次数服从二项分布B2，设所得奖金为w2元，则E(w2)23011510.5.若顾客A按方案b抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B3.设所得奖金为w3元，则E(w3)2159.结合(1)可知，E(w1)E(w3)E(w2)所以顾客A应该按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次
