1、课时跟踪检测（八） “杨辉三角”与二项式系数的性质层级一学业水平达标1在(ab)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是()A第nk项B第nk1项C第nk1项 D第nk2项解析：选D第k项的二项式系数是C，由于CC，故第nk2项的二项式系数为C.2设二项式n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是()A第9项 B第8项C第9项和第10项 D第8项和第9项解析：选A因为展开式的第5项为T5Cx，所以令40，解得n16.所以展开式中系数最大的项是第9项3(xy)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是()A第4项 B第4、5项C第5项 D第3、4项解析：选B(xy)n的展开式有n
2、1项，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大而(xy)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是中间两项，即第4、5项4若对于任意实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a2的值为()A3 B6C9 D12解析：选Bx32(x2)3，a2C26.5设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11的值为()A2 B1C2 D239解析：选A令x1，则a0a1a2a112.6若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_解析：(7ab)10的展开式中二
3、项式系数的和为CCC210，令(x3y)n中xy1，则由题设知，4n210，即22n210，解得n5.答案：57(2x1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为_解析：设(2x1)10a0a1xa2x2a10x10，令x1，得a0a1a2a101，再令x1，得310a0a1a2a3a10，两式相减，可得a1a3a9.答案：8(1)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是_解析：因为8CCC32，即82n32.所以n4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3C()26x.答案：6x9已知(a21)n展开式中各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的二项式系数最大
4、的项的系数等于54，求a的值解：由5得，Tr1C5rr5rCx.令Tr1为常数项，则205r0，所以r4，所以常数项T5C16.又(a21)n展开式的各项系数之和等于2n.由题意得2n16，所以n4.由二项式系数的性质知，(a21)n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，所以Ca454，所以a.10杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：(1)求第20行中从左到右的第4个数；(2)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；(3)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然
5、，136101535.事实上，一般地有这样的结论：第m1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数试用含有m，k(m，kN*)的数字公式表示上述结论，并给予证明解：(1)C1 140.(2)12222n2n11.(3)CCCC.证明：左边CCCCCCCCC右边层级二应试能力达标1.(x1)(2x1)(3x1)(nx1)(nN*)展开式中的一次项系数为()ACBCCC D.C解析：选C一次项的系数为123nC.2在(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中，x4的系数是首项为2，公差为3的等差数列的()A第11项 B第13项C第18项 D第20项解析：选D(1x)5(1x)6(
6、1x)7的展开式中，x4的系数为CCCCCC55.以2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an23(n1)3n5，令an55，即3n555，解得n20.3若(12x)2 018a0a1xa2 018x2 018(xR)，则的值为()A2 B0C1 D2解析：选C(12x)2 018a0a1xa2 018x2 018，令x，则2 018a00，其中a01，所以1.4设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m等于()A5 B6C7 D8解析：选B由二项式系数的性质知，二项式(xy)2m的展开式中二项式系数的最大值有一
7、项，即Ca，二项式(xy)2m1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即CCb，因此13C7C，所以137，所以m6.5若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_解析：n展开式的二项式系数之和为2n，2n64，n6.Tr1Cx6rrCx62r.由62r0得r3，其常数项为T31C20.答案：206已知(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a0a2a4a6_(填数字)解析：在所给的等式中，令x1可得a0a1a2a727，再令x1可得a0a1a2a3a7(4)7，把相加可得2(a0a2a4a6)27(4)7，所以a0a2a4a68 128.答案：8 1287已知n的展开式中偶数项的二
8、项式系数和比(ab)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项解：因为n的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n1，而(ab)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n1，所以有2n122n1120，解得n4，故第一个展开式中第3项为T3C()226.8已知n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数解：CC2C，整理得n221n980，n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C423；T5的系数为C32470；当n14时，展开式中二项式系数最大项是T8，T8的系数为C7273 432.