1、课后素养落实(十八)函数的最值(建议用时：40分钟) 一、选择题1函数f(x)x33x，x(1，1)()A有最大值但无最小值B有最大值也有最小值C无最大值也无最小值D无最大值但有最小值C因为x(1，1)，f(x)3x230，所以yf(x)在区间(1，1)上单调递减，所以yf(x)在区间(1，1)上无最大值也无最小值2函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为()ABC1，e D(1，e)Af(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x，当0x时，f(x)0，f(x)在上是增函数f(x)的最大值为f e，f(x)的最小值为f(0)3若函数f(x)x3
2、3x在(a，6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(，1) B，1) C2，1) D(2，1)Cf(x)3x23，令f(x)0x1或x1，所以f(x)在(，1)，(1，)单调递增，在(1，1)单调递减，x1为函数的极小值点因为函数f(x)在(a，6a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a，6a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，a2，1)4已知函数f(x)1ln x，若存在x00，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是()Aa2 Ba3Ca1 Da3C函数f(x)的定义域是(0，)，不等式1ln x0有解，即axxln x在(0，)上有解令h(x)xxln x，则h(
3、x)ln x由h(x)0，得x1当0x0，当x1时，h(x)0恒成立，当a1时，f(x)minf(a)2aa20，0a1时，由f(x)xaln x0恒成立，即a恒成立设g(x)，则g(x)令g(x)0，得xe，且当1xe时，g(x)e时，g(x)0，g(x)ming(e)e，ae综上，a的取值范围是0ae二、填空题6若函数f(x)x33xa在区间0，3上的最大值、最小值分别为m，n，则mn_20f(x)3x23，当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0f(x)在0，1上单调递减，在1，3上单调递增f(x)minf(1)13a2an又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)f(x)
4、maxf(3)18am，mn18a(2a)207直线yb分别与直线y2x1和曲线yln x相交于点A，B，则|AB|的最小值为_1设两个交点分别为A，B(eb，b)，则|AB|eb令g(x)ex，则g(x)ex由g(x)0，得xln 2所以g(x)在区间(，ln 2)单调递减，在区间(ln 2，)上单调递增，g(x)ming(ln 2)18 若对任意a，b满足0abt，都有bln aaln b，则t的最大值为_e0abt，bln aaln b，0，解得0xe，故t的最大值是e三、解答题9已知k为实数，f(x)(x24)(xk)(1)求导函数f(x)；(2)若x1是函数f(x)的极值点，求f(x
5、)在区间2，2上的最大值和最小值解(1)f(x)x3kx24x4k，f(x)3x22kx4(2)由f(1)0，得kf(x)x3x24x2，f(x)3x2x4由f(x)0，得x1或x又f(2)0，f(1)，f ，f(2)0，f(x)在区间2，2上的最大值为，最小值为10已知函数f(x)(xk)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0，1上的最小值解(1)f(x)(xk1)ex令f(x)0，得xk1当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时
6、，函数f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1上单调递减，在(k1，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，函数f(x)在0，1上单调递减，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)(1k)e11设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时的t值为()A1BCDD将xt代入f(x)x2，g(x)ln x中，得到点M，N的坐标分别为(t，t2)，(t，ln t)，从而|MN|t2ln t(t0)，不妨令h(t)t
7、2ln t，则h(t)2t，令h(t)0，解得t，因t时，h(t)0，当t时，h(t)0，所以当t时，|MN|达到最小故选D12若x0，)，则下列不等式恒成立的是()Aex1xx2 B1xx2Ccos x1x2 Dln(1x)xx2C设f(x)cos xcos x1x2，则f(x)sin xx0(x0)，所以，当x0，)时，f(x)为增函数，所以f(x)f(0)0，即cos x0，所以，cos x1x2，故选C13(多选题)已知函数f(x)excos xx，下列结论正确的是()A曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是y1Bf(x)在区间上单调递减Cf(x)在区间上的最小值为Df(x)在
8、区间上的最大值为1ABCD因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1f(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x当x时，f(x)0，所以f(x)在区间上单调递减，所以f(x)f(0)0，所以f(x)在区间上单调递减因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f 14一题两空函数f(x)12xx3在区间3，3上的最小值是_，最大值是_1616由f(x)123x20，得x2或x2又f(3)9，f(2)16，f(2)16，f(3)9，函数f(x)在3，3上的最小值为16，最大值为1615已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_由题意可知，T2是函数yf(x)的一个周期，故只需考虑yf(x)在0，2)上的最小值，f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos x1)(cos x1)，令f(x)0，解得cos x或cos x1，此时x，或，f(x)的最小值只能在x，或和边界点x0处取到，计算可得f(0)0，f ，f()0，f ，所以f(x)的最小值为