1、预习课本P5659，思考并完成下列问题(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？1定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在a，b上是连续函数，由直线y0，xa，xb与曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积为S.f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)0Sf(x)dxf(x)g(x)，那么直线xa，xb与曲线yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积为Sf(x)g(x)dx.点睛对于不规则平面图形面积的处理原则定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的
2、和与差求面积对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解2变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.3力做功(1)恒力做功：一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s，则力F所做的功为WFs.(2)变力做功：如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(a4时，P点向x轴负方向运动故t6时，点P离开原点后运动的路程s1(8t2t2)dt(8t2t2)dt.当t6时，点P的位移为(8t2t2)dt0.(2
3、)依题意，(8t2t2)dt0，即4t2t30，解得t0或t6，因为t0对应于点P刚开始从原点出发的情况，所以t6为所求有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻ta到时刻tb所经过的路程s和位移s1分别为(1)若v(t)0(atb)，则sv(t)dt；s1v(t)dt.(2)若v(t)0(atb)，则sv(t)dt；s1v(t)dt.(3)在区间a，c上，v(t)0，在区间c，b上，v(t)0，质点在时间1,2内的位移s即为v(t)在1,2上的定积分，sv(t)dt(t2t2)dt，故选A.3.如图所示，阴影部分的面积是()A2B2C.D.解析：选CS(3x22x)dx，即F(x)
4、3xx3x2，则F(1)31，F(3)9999.SF(1)F(3)9.4由yx2，yx2及x1围成的图形的面积S()A.B.C.D.1解析：选A图形如图所示，Sx2dxx2dxx2dxx3.5若两曲线yx2与ycx3(c0)围成图形的面积是，则c等于()A.B.C1D.解析：选B由得x0或x(c0)，(x2cx3)dx，解得c.6若某质点的初速度v(0)1，其加速度a(t)6t，做直线运动，则质点在t2 s时的瞬时速度为_解析：v(2)v(0)a(t)dt6tdt3t212，所以v(2)v(0)32211213.答案：137一物体沿直线以速度v m/s运动，该物体运动开始后10 s内所经过的路
5、程是_解析：Sdt(1t).答案：8由y，x1，x2，y0所围成的平面图形的面积为_解析：画出曲线y(x0)及直线x1，x2，y0，则所求面积S为如图所示的阴影部分面积Sdxln xln 2ln 1ln 2.答案：ln 29计算曲线yx22x3与直线yx3所围图形的面积解：由解得x0及x3.从而所求图形的面积S(x3)(x22x3)dx(x23x)dx.10由胡克定律知，把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长量成正比，现知2 N的力能使一个弹簧伸长3 cm，试求要把弹簧拉伸0.4 m所需的功解：由胡克定律知拉长弹簧所需的力F(x)kx，其中x为伸长量所以20.03k，得k(N/m)，于是F(x)x.故
6、将弹簧拉长0.4 m所做的功为：Wxdxx2(J)因此将弹簧拉长0.4 m所做的功为 J.层级二应试能力达标1一物体在力F(x)4x1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x1运动到x3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A8 JB10 JC12 J D14 J解析：选D由变力做功公式有：W(4x1)dx(2x2x)14(J)，故应选D.2若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a，那么从3小时到6小时期间内的产量为()A. B3C63 D63解析：选Ddt63，故应选D.3以初速40 m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v4010t2，则此物体
7、达到最高时的高度为()A. m B. mC. m D.m解析：选A由v4010t20，得t24，t2. h(4010t2)dt80(m)故选A.4直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 B4C2 D4解析：选D由4xx3，解得x0或x2或x2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为4.5椭圆1所围区域的面积为_解析：由1，得y. 又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S4dx3dx.由y ，得x2y216(y0)由定积分的几何意义知dx表示由直线x0，x4和曲线x2y216(y0)及x轴所围成图形的面积，dx164，S34
8、12.答案：126.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_解析：S阴2(eex)dx2(exex)2，S正方形e2，P.答案：7求由曲线xy1及直线xy，y3所围成平面图形的面积解：作出曲线xy1，直线xy，y3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积求交点坐标：由得故A；由得或(舍去)，故B(1,1)；由得故C(3,3)，8函数f(x)ax3bx23x，若f(x)为实数集R上的单调函数，且a1，设点P的坐标为(b，a)，试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S.解：当a0时，由f(x)在R上单调，知b0.当a0时，f(x)在R上单调f(x)0恒成立
9、或f(x)0恒成立f(x)3ax22bx3，ab2且a1.因此满足条件的点P(b，a)在直角坐标平面xOy的轨迹所围成的图形是由曲线yx2与直线y1所围成的封闭图形联立解得或如图，其面积Sdx(31)(31)4.(时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数ysin 2xcos 2x的导数是()Ay2cosBycos 2xsin 2xCysin 2xcos 2xDy2cos解析：选Ay(sin 2xcos 2x)(sin 2x)(cos 2x)cos 2x(2x)sin 2x(2x)2cos 2x
10、2sin 2x22cos，故选A.2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A1个B2个C3个 D4个解析：选A设极值点依次为x1，x2，x3且ax1x2x3b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点3函数f(x)x2ln x的单调递减区间是()A. B.C. ，D.，解析：选Af(x)2x，当0x时，f(x)0，故f(x)的单调递减区间为.4若 (sin xacos x)dx2，则实数a等于()A1B1CD
11、.5某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()A6千台 B7千台C8千台 D9千台解析：选A设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)18x22x3，y36x6x2，令y0得x6或x0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，)上是减函数，x6时y取得最大值6由曲线yx2，yx3围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.解析：选A由得或则两曲线的交点坐标是(1,1)，(0,0)，由图易知封闭图形的面积为(x2x3)dx，故选A.7已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb
12、)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.8曲线f(x)ln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()A1 B2C. D3解析：选C直线2xy30的斜率为2，f(x)，令2，解得x1，由于f(1)ln(21)0，故曲线f(x)过(1,0)的切线斜率为2，则点(1,0)到直线2xy30的距离d，即曲线f(x)ln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是，故选C.9物体A以速度v(3t21)m/s在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A
13、的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3 B4C5 D6解析：选C因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t25，所以(t5)(t21)0，所以t5.10若函数f(x)x2ax在上是增函数，则实数a的取值范围是()A1,0BCD9，)解析：选Cf(x)x2ax在上是增函数，f(x)2xa0在上恒成立，f(x)2xa在上递增，f9a0，a.11已知aR，函数f(x)x3ax2ax2的导函数f(x)在(，1)上有最小值，若函数g(x
14、)，则()Ag(x)在(1，)上有最大值Bg(x)在(1，)上有最小值Cg(x)在(1，)上为减函数Dg(x)在(1，)上为增函数解析：选D函数f(x)x3ax2ax2的导函数f(x)x22axa，f(x)图象的对称轴为xa，又导函数f(x)在(，1)上有最小值，所以a0，所以g(x)在(1，)上为增函数故选D.12设函数f(x)是函数f(x)(xR)的导函数，若f(x)f(x)2x3，且当x0时，f(x)3x2，则不等式f(x)f(x1)3x23x1的解集为()A(，2) BC.D(2，)解析：选B令F(x)f(x)x3，则F(x)f(x)3x2，由f(x)f(x)2x3，可得F(x)F(x
15、)，故F(x)为偶函数，又当x0时，f(x)3x2，即F(x)0，F(x)在(0，)上为增函数不等式f(x)f(x1)3x23x1可化为f(x)x3f(x1)(x1)3，F(x)F(x1)，F(|x|)F(|x1|)，由函数的单调性可知|x|x1|，解得x.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在题中的横线上)13若f(x)x3f(1)x2x5，则f(1)_.解析：f(x)x22f(1)x1，令x1，得f(1).答案：14函数yx(x0)的最大值为_解析：y1，令y0得x.0x时，y0；x时，y0.x时，ymax.答案：15已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f
16、(x)xsin x，设af(1)，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系是_解析：f(2)f(2)，f(3)f(3)，因为f(x)1cos x0，故f(x)在上是增函数，2130，f(2)f(1)f(3)，即cab.答案：ca0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，)19(本小题满分12分)已知某厂生产x件产品的成本C25 000200xx2(单位：元)(1)要
17、使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品？解：(1)设平均成本为y元，则y200，y，令y0，得x11 000，x21 000(舍去)当在x1 000附近左侧时y0，故当x1 000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品(2)利润函数L500x300x25 000.L300，令L0，解得x6 000.当在x6 000附近左侧时L0，当在x6 000附近右侧时L0，故当x6 000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L0的点，且函数在该点有
18、极大值，故函数在该点取得最大值因此，要使利润最大，应生产6 000件产品20(本小题满分12分)设函数f(x)exx2x.(1)若k0，求f(x)的最小值；(2)若k1，讨论函数f(x)的单调性解：(1)k0时，f(x)exx，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0，所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)1.(2)若k1，则f(x)exx2x，定义域为R.所以f(x)exx1，令g(x)exx1，则g(x)ex1，由g(x)0得x0，所以g(x)在0，)上单调递增，由g(x)0得x1时，x2ln x0)，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，
19、)当a0时，f(x)x，当0x时，f(x)时，f(x)0.当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)(2)当x1时，x2ln xx3恒成立，理由如下：设g(x)x3x2ln x(x1)，则当x1时，g(x)2x2x0，g(x)在(1，)上是增函数，g(x)g(1)0.即x3x2ln x0，x2ln x1时，x2ln xx3恒成立22(本小题满分12分)若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)k有3个不同的根，求实数k的取值范围解：(1)f(x)3ax2b，由题意，得，即解得f(x)x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)有极小值，所以函数f(x)x34x4的图象大致如图所示若f(x)k有3个不同的根，则直线yk与函数f(x)的图象有3个交点，k.实数k的取值范围为.