1、课时分层作业(十九)直线的方向向量与平面的法向量(建议用时：40分钟)基础达标练一、填空题1已知a(1,4,3)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则x_，y_.解析由l1l2，得，解得x12，y9.答案1292设直线l1的方向向量为a(2，1,2)，直线l2的方向向量为b(1,1，m)，若l1l2，则m_.解析l1l2，212m0，m.答案3设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则l与的位置关系是_解析由题意知，因为ab0，所以ab，所以l在平面内或l与平面平行答案l在平面内或l与平面平行4设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件n0的点M
2、的轨迹是_解析n0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念答案过点A且与向量n垂直的平面5已知直线l1的方向向量为a(2,4，x)，直线l2的方向向量为b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy的值是_. 【导学号：71392190】解析因为|a|6，所以416x236，即x4，当x4时，a(2,4,4)，由ab0，得44y80，解得y3，此时xy431；当x4时，a(2,4，4)，由ab0，得44y80，解得y1，此时xy413.综上，得xy3或xy1.答案3或16已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为_解析设单位法向量n0(x，y，
3、z)，(1,1,0)，(1,0,1)由n00，且n00得解得或答案或7已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，则平面的一个法向量是_解析A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)设平面的法向量为n(x，y，z)，依题意，应有n0，n0，即解得令y1，则x2.平面的一个法向量为n(2,1,0)答案(2,1,0)8已知点A，B，C的坐标分别是(0,1,0)，(1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若，则点P的坐标为_. 【导学号：71392191】解析A(0,1,0)，B(1,0,1)，C(2,1,1)，P
4、(x,0，z)，(1，1,1)，(2,0,1)，(x,1，z)，(x,1，z)(1，1,1)0，(x,1，z)(2,0,1)0，点P的坐标为.答案二、解答题9在正方体ABCDA1B1C1D1中，证明：是平面A1BC1的法向量证明建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，于是(1,1,1)，(0，1,1)，(1,0,1)，由于110，110.，BA1BC1B，DB1平面A1BC1，即是平面A1BC1的法向量10已知ABCDA1B1C1D1是长方体，建立空间直角坐标系如图325.AB3，BC4
5、，AA1 2，图325(1)求平面B1CD1的一个法向量；(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式. 【导学号：71392192】解(1)在题图所示的空间直角坐标系Axyz中各点坐标为B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得(0,4，2)，(3,0,2)，设平面B1CD1的一个法向量为a(x，y，z)，则a，a，从而a0，a0，所以0x4y2z0，3x0y2z0，解方程组得不妨取z6，则y3，x4.所以a(4,3,6)就是平面B1CD1的一个法向量(2)由题意可得，(x3，y，z2)，因为a(4,3,6)是平面B1CD1的一个法向量
6、，所以a，从而a0，即4(x3)3y6(z2)0,4x3y6z24，所以满足题意的关系式是4x3y6z24.能力提升练1若不重合的两个平面的法向量分别是a(3，3，3)，b(1,1,1)，则这两个平面的位置关系是_解析a(3，3，3)，b(1,1,1)，a3b，ab.这两个平面平行答案平行2已知平面内有一个点A(1,1,0)，的一个法向量为n(1,1,1)，则下列各点中，在平面内的是_(填序号)(1,3,2)；(0,0,2)；(1,2,1)；.解析设平面内任意点P(x，y，z)，则(x1，y1，z)，故nx1y1z0，即xyz20，把各点坐标代入检验，可知符合答案3已知点P是平行四边形ABCD
7、所在平面外一点，若(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，则给出下列结论：APAB；APAD；是平面ABCD的一个法向量；.其中正确的结论是_. 【导学号：71392193】解析2(1)(1)2(4)(1)2240，则，即APAB；(1)42200，则，即APAD，又ABADA，AP平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量由于(2,3,4)，(1,2，1)，所以与不平行答案4如图326，四棱锥PABCD中，PDADDC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，F在PB上，问F在何位置时，为平面DEF的一个法向量？图326解建系如图，设DA2，则D(0,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)E(0,1,1)，B(2,2,0)，(2,2，2)设F(x，y，z)，(x，y，z2)(2,2，2)，F(2，2，22)，(2，2，22)0，442(22)0，F为PB的一个三等分点(靠近P点)