1、天一大联考2017-2018学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ） ABCD 2.已知是虚数单位，若复数为纯虚数（，），则（ ）ABCD 3.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（ ）ABCD 4.已知函数（）的最小值为2，则实数（ ）A2B4C8D16 5.已知数列满足，则数列前项的和等于（ ）A16
2、2B182C234D346 6.用，表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87执行如图所示的程序框图，若分别输入的10个值，则输出的的值为（ ）ABCD 7.如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A16B32C48D60 8.已知，且，则的最小值为（ ） A8B9C12D16 9.将函数向左平移个单位长度，则所得函数的一条对称轴是（ ） ABCD 10.已知点，是圆：上任意一点，若线段的中点的轨迹方程为，则的值为（ ）A1B2C3D4 11.已知四棱锥的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为和的矩形，则该四棱锥外接球的表面积
3、为（ ）ABCD 12.已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，若为线段的中点，连接并延长交抛物线于点，则的取值范围是（ ） ABCD 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中的系数是 （用数值作答）14.已知实数，满足则的取值范围为 15.如图，在等腰梯形中，点，分别为线段，的三等分点，为的中点，则 16.已知过点与曲线（）相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列的前项分别为1，公比不为1的等比数列的前3项分别为4，（1）求数列与的通项公
4、式；（2）设，求数列的前项和18.在中，内角，的对边分别是，满足（1）求角；（2）若的面积为，求的值19.某大型娱乐场有两种型号的水上摩托，管理人员为了了解水上摩托的使用及给娱乐城带来的经济收入情况，对该场所最近6年水上摩托的使用情况进行了统计，得到相关数据如表：年份201120122013201420152016年份代码123456使用率（）111316152021（1）请根据以上数据，用最小二乘法求水上摩托使用率关于年份代码的线性回归方程，并预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率；（2）随着生活水平的提高，外出旅游的老百姓越来越多，该娱乐场根据自身的发展需要，准备重新购进一批水上摩托，其型
5、号主要是目前使用的型、型两种，每辆价格分别为1万元、1.2万元根据以往经验，每辆水上摩托的使用年限不超过四年娱乐场管理部对已经淘汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了50辆进行统计，使用年限如条形图所示：已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是0.8万元，若用频率作为概率，以每辆水上摩托纯利润（纯利润收益购车成本）的期望值为参考值，则该娱乐场的负责人应该选购型水上摩托还是型水上摩托？附：回归直线方程为,其中，20.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，且，（1）求证：平面平面；（2）设，求二面角的余弦值21.如图，已知为椭圆：的右焦点，为椭圆的下、上、右三个顶点，与的面积之比为（1）求椭圆的标准方程
6、；（2）试探究在椭圆上是否存在不同于点，的一点满足下列条件：点在轴上的投影为，的中点为，直线交直线于点，的中点为，且的面积为若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标22.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若方程存在两个不同的实数根，证明：天一大联考2017-2018学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）由题意，得解得（舍去）或所以数列的公差为，通项公式为，即，数列的公比为，通项公式为（2）由（1）得，所以18.解：（1），由余弦定理，得，即由正弦定理与同角三角函数基本关系，得
7、，（2）的面积为，即，19.解：（1）由表格数据，得，水上摩托使用率关于年份代码的线性回归方程为当时，故预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率为（2）由频率估计概率，结合条形图知型水上摩托每辆可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2，每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值（万元）由频率估计概率，结合条形图知型水上摩托每辆可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1,0.2,0.4和0.3，每辆型水上摩托可产生的纯利润期望值（万元）20.（1）证明：如图，分别取，的中点，连接，则四边形为正方形，又，平面，又与为平面内的两条相交直线，平面又平面，平面平面（2）解：由（1）知，以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则由，知令，则，设平面的法向量为，则由，得即取，得又设平面的法向量为，则由得即取，得，又二面角为锐角，二面角的余弦值为21.解：（1）由已知，得又，结合，解得，椭圆的标准方程为（2）设（），则，又，直线的方程为，令，得又，则，直线的方程为，即，点到直线的距离为，解得，代入椭圆方程，得，存在满足条件的点，其坐标为22.解：（1）函数的定义域为，当时，在区间上单调递增当时，由，得，在区间上单调递增，由，得，在区间上单调递减.（2）由方程存在两个不同的实数根，可设，要证，只需证，等价于，设，上式转化为，设，在上单调递增，