1、第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1数列3，7，11，15，的通项公式可能是()Aan4n7Ban(1)n(4n1)Can(1)n(4n1)Dan(1)n1(4n1)解析：当数列中负项、正项交替出现时，用(1)n来控制；当数列中正项、负项交替出现时，用(1)n1来控制答案：C2用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为()A6n2 B8n2 C6n2 D8n2解析：从可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴
2、棒的根数为6n2.故选C.答案：C3设n是自然数，则(n21)1(1)n的值()A一定是零 B不一定是偶数C一定是偶数 D是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，(n21)1(1)n0为偶数；当n为奇数时(n2k1，kN)，(n21)1(1)n(4k24k)2k(k1)为偶数所以(n21)1(1)n的值一定为偶数答案：C4在平面直角坐标系内，方程1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为()A.1 B.1C.1 Daxbycz1解析：从方程1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是1.答案：A5已知
3、对正数a和b，有下列命题：若ab1，则；若ab3，则；若ab6，则3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若ab9，则()A2 B. C4 D5解析：从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为，所以若ab9，则.答案：B二、填空题6已知a11，an1an，且(an1an)22(an1an)10，计算a2， a3，猜想an_解析：计算得a24，a39，所以猜想ann2.答案：n27通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为_解析：“圆中正方形的面积”类比为“球中正方体的体积”，可得结论答案：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为
4、最大，最大值为R3.8(2015陕西卷)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是_解析：三棱锥：F5，V6，E9，得FVE2；五棱锥：F6，V6，E10，得；FVE2；立方体：F6，V8，E12，得FVE2.所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式FVE2.答案：FVE2三、解答题9平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S底高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.请类比上述性质，写出空间中四面
5、体的相关结论解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)四面体的体积V底面积高(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.10已知数列，(nN*)的前n项和为Sn.(1)求出S1，S2，S3，S4；(2)猜想该数列的前n项和Sn并证明解：(1)S1，S2，S3，S4.(2)猜想Sn(nN*)证明如下：因为，所以Sn(nN*)B级能力提升1图、图、图、图分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含的单位正方形的个数是()图图 图图An22n1 B2n22n1C2n22 D
6、2n2n1解析：观察题中给出的四个图形，图共有12个正方形，图共有1222个正方形；图共有2232个正方形；图共有3242个正方形；则第n个图中共有(n1)2n2，即2n22n1个正方形答案：B2若数列an(nN*)是等差数列，则数列bn：bn(nN*)也是等差数列类比上述性质，相应地：若数列cn (nN*)是等比数列，且cn0，则数列dn：dn_(nN*)也是等比数列解析：在运用类比推理解决问题时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，找出等差数列与等比数列在运算上的相似性：等差等比，求和求积，除法开方，故猜想dn，故填 .答案：3.如图，已知O是ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A，B，C，则1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：1.运用类比猜想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似结论？并用“体积法”证明解：如图，设O为四面体VBCD内任意一点，连接VO，BO，CO，DO并延长交对面于V，B，C，D，类似结论为1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明因为(其中h，h分别为两个四面体的高)，同理，.所以1.