1、2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换1.掌握旋转、投影、切变变换的特点，熟知常用的这三种变换矩阵的特点.2.了解旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义.基础初探1.旋转变换(1)旋转变换的定义：将一个图形F绕某个定点O旋转角度所得图形F的变换称为旋转变换，其中点O称为旋转中心，角度称为旋转角.(2)旋转变换矩阵：当旋转中心为坐标原点O且逆时针旋转角时，旋转变换的矩阵为，像这样的矩阵称为旋转变换矩阵.(3)旋转变换的特点：旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状.旋转中心在旋转过程中保持不变.图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定.绕定点旋转180的变换相当
2、于关于定点作中心反射变换.2.投影变换(1)定义：将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换.(2)投影变换矩阵：像，这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵.(3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射.3.切变变换(1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换.(2)切变变换矩阵一般地，在平面直角坐标系xOy内，将任一点P(x，y)沿着x轴(或y轴)方向平移|ky|(或 |kx|)个单位变成点P(x，y)，(其中k是非零常数)，对应的变换矩阵或(kR，k0)，称为切变变换矩阵.(3
3、)切变变换的矩阵表示及其几何意义矩阵(kR，k0)把平面上的点P(x，y)沿x轴方向平移|ky|个单位：当ky0时，沿x轴正方向移动；当ky0时，沿x轴负方向移动；当ky0时，位置不变.在此变换作用下，x轴上的点为不动点.矩阵(kR，k0)把平面上的点P(x，y)沿y轴方向平移|kx|个单位：当kx0时，沿y轴正方向移动；当kx0时，沿y轴负方向移动；当kx0时，位置不变.在此变换作用下，y轴上的点为不动点.思考探究1.如何理解旋转变换的矩阵表示及其几何意义？【提示】旋转变换所对应的矩阵表示为 ，这里为一个实数，叫做旋转角，旋转中心一般取作原点.当0时，旋转的方向是逆时针；当0时，旋转的方向则
4、是顺时针，我们一般只讨论逆时针方向.2.线性变换对单位正方形表示的区域有哪些作用？【提示】(1)恒等变换，关于x轴、y轴的反射变换以及旋转变换，变换前后正方形区域的形状都未发生改变，只是位置发生了变化.(2)切变变换把原来的正方形区域变成了一边不动，另一边平移了的平行四边形.(3)投影变换把正方形区域变成了线段.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：旋转变换及其应用已知曲线xy1，将它绕坐标原点顺时针旋转90后会得到什么曲线？曲线方程是什么？【精彩点拨】根据题设条件找到旋转角，求出旋转变换矩阵，从而求出曲线方程，判断曲线类型.
5、【自主解答】将曲线xy1绕坐标原点顺时针旋转90，相当于逆时针旋转270，故旋转变换矩阵为M，设P(x0，y0)为曲线xy1上任意一点，在矩阵M作用下对应点为P(x0，y0)则，所以故x0y0x0y01.因此曲线xy1在矩阵M的作用下变成曲线xy1，如图所示.求旋转变换下曲线的方程的关键是搞清旋转方向，找准旋转角，求出旋转变换矩阵，进而用代入法(相关点法)求出曲线方程.若将本例中“旋转90”变成“旋转45”情况如何？【解】由题意得旋转变换矩阵为M.在曲线xy1上任取一点P(x，y)，设其在此旋转变换作用下得到点P(x，y)，则，即所以将其代入xy1中得：1.即1，因此曲线xy1，在矩阵的作用下
6、变成曲线1. 投影变换及其应用设一个投影变换把直角坐标系xOy内的任意一点沿平行于直线yx的方向投影到x轴上.试求：(1)点A(3，2)在这个投影变换作用下得到的点A的坐标；(2)这个投影变换对应的变换矩阵. 【导学号：30650016】【精彩点拨】根据题设条件画出图形，数形结合求解.【自主解答】 (1)如图所示，点A(3，2)在这个投影变换作用下得到的点A的坐标为(1，0).(2)设点(x，y)是平面直角坐标系xOy内的任意一点，则它在这个投影变换作用下得到的点为(xy，0)，即，从而可知所求的变换矩阵为.1.矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到x轴上，即(x，y)(x，0)；
7、矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点沿垂直于x轴方向投影到直线yx上，即(x，y)(x，x)；矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到y轴上，即(x，y)(0，y).2.求解该类问题常用数形结合思想求解.(1)矩阵，对应的变换的几何意义是什么？(2)矩阵，对应的变换的几何意义是什么？【解】(1)对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x轴的方向投影到x轴上.对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿平行于直线xy0的方向投影到x轴上.对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x轴的方向投影到直线yx上.对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于y轴的方向投影到y轴上.(2)对
8、应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线xy0的方向投影到直线xy0上.对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线yx的方向投影到直线yx上.切变变换及其应用如图222所示，已知矩形ABCD，试求在矩阵对应的变换作用下的图形，并指出矩形区域ABCD在变换过程中的不变线段. 【导学号：30650017】图222【精彩点拨】由于本变换对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况，从而得解.【自主解答】因为矩阵对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况即可，而，.从而矩形ABCD在矩阵作用下变成了平行四边形ABCD.这里A(2，1)、B(4，1)、C(1，1)、D(5，1)，即原图
9、形上任意一点(x，y)沿x轴方向平移|3y|个单位，而纵坐标不变.如图所示，线段EF为该切变变换下的不变线段.矩阵(kR，k0)确定的变换为沿x轴方向平移|ky|个单位的切变变换；而(kR，k0).确定的变换为沿y轴方向平移|kx|个单位的切变变换，不要将二者混淆.如图223(1)、(2)所示，已知正方形ABCD在变换T作用下变成平行四边形ABCD，试求变换T对应的矩阵M.图223【解】由图知，A(0，0)变换为A(0，0)，B(1，0)变换为B(1，1)，C(1，1)变换为C(1，2)，D(0，1)变换为D(0，1)，从而可知变换T是沿y轴正方向平移1个单位的切变变换，在此变换下，y轴上的点
10、为不动点，故可得M. 真题链接赏析(教材第34页习题2.2第8题)已知曲线xy1，将它绕坐标原点顺时针旋转90后，会得到什么曲线？曲线方程是什么？已知椭圆：x21，试求该曲线绕逆时针方向旋转90后所得到的曲线，画出示意图.【命题意图】本题主要考查旋转变换，同时考查了函数方程思想及运算求解能力.【解】设椭圆与坐标轴的交点分别为A(1，0)，B，C(1，0)，D(如图).因为绕原点逆时针旋转90的变换所对应的矩阵为M.这样，.点A，B，C，D在旋转变换M的作用下分别变为点A(0，1)、B、C(0，1)、D，从而椭圆曲线：x21在逆时针旋转90后所成的曲线为椭圆曲线：y21.1.旋转中心为坐标原点且
11、逆时针旋转的旋转变换的变换矩阵为_. 【导学号：30650018】【解析】矩阵为.【答案】2.已知椭圆1(ab0)，矩阵对应的投影变换把椭圆变成_.【解析】设椭圆上任意一点P(x，y)在投影变换下对应点P(x，y)，则，椭圆1中，byb，投影后的曲线方程为x0(byb)，为一条线段.【答案】线段3.直线y3x在矩阵对应的变换作用下所得的几何图形的方程为_.【解析】设直线y3x上任意一点为P(x，y)，在线性变换下的像为P(x，y)，则，即代入y3x，得x3y，即yx，变换后的图形为直线yx.【答案】yx4.在矩阵对应的变换作用下，点(2，1)将会变为_，这是一种_变换. 【导学号：306500
12、19】【解析】由可知点(2，1)在矩阵对应的变换作用下，变为点(4，1)，从而可知该变换为切变变换.【答案】点(4，1)切变我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(四)学业达标1.求出ABC在矩阵作用下得到的图形，并画出示意图，其中A(0，0)，B(1，)，C(0，2).【解】因为，所以ABC在矩阵作用下变换得到的图形为ABC，其中A(0，0)，B(1，)，C(，1)，这是一个旋转变换，示意图如图所示.2.(1)直线xy3在矩阵作用下变成什么图形？(2)正方形ABCD在矩阵M作用下变成什么图形？这里A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1).【解】(
13、1)直线xy3在矩阵作用下变成直线x3.(2)在矩阵M对应变换下，AA(2，1)，BB(0，1)，CC(2，1)，DD(0，1)，则变换所成图形为平行四边形ABCD，如图.3.椭圆y21在矩阵对应的变换作用下得到什么图形？【解】设(x，y)为椭圆y21上的任意一点，则有x29.因为，所以矩阵使得椭圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为0，所以椭圆y21在矩阵对应的变换作用下得到的图形是线段y0(3x3)，即椭圆长轴.4.在平面直角坐标系xOy内有一点P(2，3)，将该点沿平行于直线x2y0的方向投影到x轴上，求P(2，3)在此投影变换下得到的点P的坐标.【解】设P(2，3)在此投影变换下得到的点
14、为P(x，y)，则由题意知即，从而可知此投影变换对应的矩阵为，由，可知点P的坐标为(8，0).5.如图224所示，已知ABC在变换T的作用下变成ABC，试求变换T对应的矩阵M. 【导学号：30650020】图224【解】从ABC到ABC对应的是x轴方向上的切变变换，因为A、B在x轴上，原地不变，注意到C(1，1)C(1，1)，由此可知这个变换对应的矩阵为.6.如图225所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形ABCD，试求变换T对应的矩阵M.图225【解】从图可以看出，T是一个切变变换，且T：.故T对应的变换矩阵为M.我们可以进行如下验证：，.所以矩形ABCD在矩阵的作用下变成了平行四边
15、形ABCD.7.试分析平面上的变换将平面上的点沿垂直于直线yx的方向投影到直线yx上的矩阵表示.【解】不妨设P(x，y)是平面上的任意一点，则它关于直线yx对称的点P的坐标为P(y，x)，PP的连线一定垂直于直线yx，且交点为Q，如图所示.根据题意，该变换即为.因此，将平面上的点沿垂直于直线yx的方向投影到直线yx上的变换的矩阵表示为. 能力提升8.运用旋转矩阵对应变换，求解下列问题：(1)求曲线xy2逆时针方向绕原点旋转90所成的曲线方程.(2)求圆x2y21绕原点逆时针旋转后得到的曲线方程. 【导学号：30650021】【解】(1)旋转变换矩阵为：，设xy2上任意一点(x0，y0)旋转变换后为(x0，y0)，则，所以故y0(x0)2，即旋转所成的曲线方程为yx2.(2)设x2y21上的动点P(x，y)经过变换后得新曲线上的点为P(x，y).则有，故从而代入x2y21得(xcos ysin )2(xsin ycos )21，即x2y21.故所求曲线方程为x2y21.
