1、附录 核心知识整合一、集合与常用逻辑用语知识必备1.集合的子集的个数(1)对于含有n个元素的集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2.2.集合中的两个重要结论(1)AB=AAB.(2)AB=ABA.3.四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假.(3)若pq,则称p是q的充要条件;(2)解决集合问题时,要注意根据集合元素的互异性进行检验;(3)A是B的充分不必要条件,可认为条件是A,结论是B,推理方向是从A到B,即由A能够推出B,但由B不能推出A;A的充分不必要条件是B,可认为条件是B,结论是A,推理方向是从B到A,即由A不能
2、够推出B,但由B能够推出A.(4)命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念,命题p的否定是否定命题所作的判断,而“否命题”是对“若p,则q”形式的命题而言,既要否定条件也要否定结论.二、不等式知识必备1.解不等式的常见策略(1)解一元二次不等式的策略:先化为一般形式ax2+bx+c0(a0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.(2)解简单的分式不等式的策略:将不等式一边化为0,再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解;(3)若已知一元二次不等式的解集,则可根据一元二次方程根与系数的关系求解其中的参数及相关问题.4.解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤(1)画出可
3、行域;(2)根据目标函数的几何意义确定其取得最优解的点;(3)求出目标函数的最大值或者最小值.易忘提醒(1)解形如一元二次不等式ax2+bx+c0时,易忽视系数a的讨论导致漏解或错解,要注意分a0,a0进行讨论.(3)求解线性规划问题时,作图一定要准确,边界的虚、实要搞清,区域是否是封闭的一定要明确.三、函数的概念、图象与性质及函数与方程知识必备1.函数的三要素定义域、值域和对应关系,其中值域被函数的定义域和对应关系完全确定,因此定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数.2.函数的图象与性质见附表3.函数与方程(1)方程的根与函数零点的关系:由函数零点的定义,可知函数y=f(x)的零点就是方程
4、f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以,方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.(2)函数零点的存在性:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)0,那么函数f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的实数根.易忘提醒(1)求解与函数有关的问题,如值域、单调区间、判断奇偶性,求极值、求最值等等,都必须注意定义域优先的原则.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.(2)分段函数的求值(解不
5、等式)问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.(3)求函数单调区间时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”,它们之间只能用“,”隔开或者用“和”字连接;单调区间不能用集合或不等式表示,必须用区间表示.(4)判断函数的奇偶性时,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数解析式化简处理,但必须使定义域不受影响.(5)利用指数函数、对数函数的单调性时,易忽视对底数的讨论.(6)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)f(b)0时,不能否定函数y=f(x)在(a,b)内有零点.函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”,对于“不变号零点”函数的零点定理是“
6、无能为力”的,在解决函数零点问题时要注意这个问题.(3)各象限内的三角函数值符号为正的规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.abc=sinAsinBsinC;a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.4.解三角形的类型及相应解法(1)已知两角和一边,如已知A、B和c,由A+B+C=求C,由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a、b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a、b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)
7、已知三边a、b、c,可应用余弦定理求A、B、C.5.三角形中的几个常用结论(1)A+B+C=;(4)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;(5)sin(A+B)=sinC;(6)cos(A+B)=-cosC;(7)sinAsinBabAB.易忘提醒(1)在已知两边和其中一边的对角时,要注意解三角形的不确定性.(2)在解三角形时,不要忘记三角形内角和定理这一隐含条件,即A+B+C=.六、平面向量知识必备1.平面向量的数量积(1)若a,b为非零向量,夹角为,则ab=|a|b|cos.(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.2.两个非零向量平行、
8、垂直的充要条件若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)aba=b(b0)x1y2-x2y1=0.(2)abab=0 x1x2+y1y2=0.易忘提醒(1)当ab0(或ab0).圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).(2)直线l:Ax+By+C=0(A2+B20)与圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系如下表.(3)圆与圆的位置关系(O1、O2半径分别为r1、r2,d=|O1O2|)3.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质见附表4.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一
9、元二次方程,若0,则直线与椭圆相交;若=0,则直线与椭圆相切;若0这一条件.十、导数及其应用知识必备1.基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式(3)复合函数的求导法则复合函数y=f(g(x)的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为yx=f(u)g(x).2.导数几何意义的应用(1)函数f(x)图象上点P(x0,f(x0)处切线的斜率为f(x0),切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(2)过点P(x1,y1)作曲线y=f(x)的切线时,要先设出切点坐标(x0,f(x0),写出切线方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0),再利用P在切线上解出x0,
10、得切线方程.(3)已知切线方程求参数时,要注意切点(x0,y0)同时在曲线和切线上,且f(x0)等于切线的斜率.3.利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤:确定函数f(x)的定义域;求导函数f(x);在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0的解集确定函数f(x)的单调增区间,f(x)0(或f(x)0.(2)f(x0)=0是函数y=f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,而不是充要条件.(3)存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若f(x)m恒成立,则f(x)maxm;若f(x)m恒成立,则f(x)minm.若f(x)m有解,则f(x)mi
11、nm;若f(x)m有解,则f(x)maxm.十一、推理与证明、复数知识必备1.解决合情推理问题时应注意(1)运用归纳推理得出一般结论时,要注意从等式、不等式的项数、次数、系数等多个方面进行综合分析,归纳发现其一般结论.(2)若已给出的式子较少,规律不明显时,可多写出几个式子,发现其中的一般结论.(3)进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质.2.复数的相关概念及运算法则(1)复数z=a+bi(a,bR)的分类z是实数b=0.z是虚数b0.z是纯虚数a=0且b0.(4)复数相等的充要条件a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR).特别地,a+bi=0
12、a=0且b=0(a,bR).易忘提醒(1)在进行归纳推理时,要认真观察、分析已给出具体结论的特点,必要时再写出几个具体的结论,从而归纳得到一般性结论.(2)已知复数z=a+bi(a,bR)是纯虚数时,切记是两个条件,一是a=0;二是b0.十二、计数原理与概率知识必备1.解决排列组合问题的常用方法(1)每个元素都有附加条件时用列表法或树形图法;(2)特殊元素或特殊位置优先安排法;(3)相邻问题捆绑法;(4)不相邻问题插空法;(5)定序问题消序法;(6)排列组合综合问题先选后排法;(7)“小集团”问题先整体后局部法;(8)正难则反、等价转化法.2.解决二项式定理有关问题的常用方法(1)求解二项展开式中特定项,一般用通项公式、待定系数法求解.(2)求解二项展开式系数和等问题,一般用赋值法.(3)对于形式上接近二项展开式的代数式,要善于逆用二项式定理.
