1、基础达标1在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_解析：由圆锥曲线的共同性质得e2，d为点M到右准线x1的距离，则d2，所以MF4.答案：42在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(ab0)，右焦点为F,右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2,若d2d1，则椭圆C的离心率为_解析：依题意，d2c.又BFa，所以d1.由已知可得，所以c2ab，即6c4a2(a2c2)，整理可得a23c2，所以离心率e.答案：3已知椭圆1上一点P到右准线的距离为10，则点P到它的左焦点的距离为_解析：设F1，F
2、2分别为椭圆的左，右焦点，P到左准线的距离为d1，P到右准线的距离为d210，由圆锥曲线的统一定义知，解得PF26，又PF1PF22a10，解得PF14，故P到它的左焦点距离为4.答案：44如果双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是_解析：由双曲线方程可知a2，b，c，e，设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，设P点坐标为(x，y)，由已知条件知P点在右支上，且PF2exa2，解得x.答案：5设双曲线1(a0，b0)的离心率为，且它的一条准线与抛物线y24x的准线重合，则此双曲线方程为_解析：由题意得，1，得a，c3，则b26，所以此双曲线方程为1.答案：16设F1，
3、F2分别是椭圆1(ab0)的左，右焦点，P是其右准线上纵坐标为c(c为半焦距)的点，且F1F2F2P，则椭圆的离心率是_解析：如图有P(，c)，设右准线交x轴于H点，F2PF1F22c，且PHc，故PF2H60，F2Hc，OH2ce2e或(舍)答案：7设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过点F的弦，试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系解：设M为弦AB的中点(即以AB为直径的圆的圆心)，A1，B1，M1分别是A、M、B在准线l上的射影(如图)由圆锥曲线的统一定义得ABAFBFe(AA1BB1)2eMM1. 0e1，AB2MM1，即MM1.以AB为直径的圆与椭圆的左准线相离8在椭圆1上求一点
4、P，使它到左焦点F1的距离是它到右焦点F2距离的2倍，试求点P的坐标解：由题意可设P点坐标为(x0，y0)，由椭圆的方程1，可得a5，b3，c4，离心率e.所以PF1aex05x0，PF2aex05x0.又PF12PF2，解得x0，代入椭圆方程得y0，故点P的坐标为.能力提升1已知椭圆1外一点A(5,6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则PAd的最小值为_解析：如图，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为F(3,0)，根据圆锥曲线的统一定义有：e，即PFd，所以PAdPAPF，可知当P，F，A三点共线且P在线段AF上时，PAPF最小，最小值AF10.故PAd的最小值为10.答
5、案：102已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且2，则C的离心率为_解析：如图，BFa，作DD1y轴于点D1，则由2，得，所以DD1OFc，即xD，由圆锥曲线的统一定义得FDe()a；又由BF2FD，得a2a，整理得3c2a2.解得e(舍去)或e.答案：3已知A，B为椭圆1上的两点，F2是椭圆右焦点，若AF2BF2a，AB的中点M到椭圆的左准线的距离为，试确定椭圆的方程解：由椭圆的方程可得ba，则ca，e，两准线间的距离为a，设A，B两点到右准线的距离分别是dA，dB，则，AF2BF2(dAdB)a，dAdB2a，则AB的中点M到椭圆右准线的距离为a，
6、于是M到左准线的距离为aa，解得a1，故椭圆方程为x21.4(创新题)已知椭圆1上不同的三点A(x1，y1)，B，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列(1)求证：x1x28；(2)若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T，求直线BT的斜率解：(1)证明：由已知得a5，b3，c4，e.因为AFaex15x1，CFaex25x2，BF54，且AFCF2BF，所以，即x1x28.(2)因为A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆上，所以1，1.由得yy(x1x2)(x1x2)(x1x2)又因为线段AC的中点为，所以线段AC的垂直平分线的方程为y(x4)又因为点T在x轴上，则设点T的坐标为(x0,0)，代入得x04，所以x04.所以直线BT的斜率k.故直线BT的斜率为.