1、立体几何初步一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等,则该棱锥一定不是( ) A三棱锥 B四棱锥 C五棱锥 D六棱锥2一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A底面是正方形,有两个侧面是矩形 B底面是正方形,有两个侧面垂直于底面 C底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D每个侧面都是全等矩形的四棱柱3如图,棱锥P-ABCD的高PO3,截面积ABCD平行于底面ABCD,PO与截面交于O,且OO2。如果四边形ABCD的面积为36,则四边形ABCD的面积为( )A12 B 16 C 4 D 84一个凸多面
2、体的面数为8,各面多边形的内角总和为16,则它的棱数为( )A24 B22 C18 D165在棱长为1的正方体AC1中,对角线AC1在六个面上的射影长度总和是( )AB C6D6若一个四面体由长度为1,2,3的三种棱所构成,则这样的四面体的个数是( )A2B4C6D87棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为( )ABCD8已知一个简单多面体的每个面均为五边形,且它共有30条棱,则此多面体的面数F和顶 点数V分别等于( )空x(时间)PQ满y(水量)OAF=6,V=26 BF=8,V=24CF=12,V=20 DF=20,V=129有一空容器,由悬在它上方的一根水管
3、均匀地注水,直至 把容器注满在注水过程中水面的高度曲线如右图所示, 其中PQ为一线段,则与此图相对应的容器的形状是( )A B C D10一个水平放置的圆柱形贮油桶,桶内有油部分占底面一头的圆周长的,则油桶直立时,油的高度与桶的高之比是( )ABCD11平行六面体ABCD-ABCD的六个面都是菱形,那么顶点B在平面ACB上的射影一定是ACB的A重心 B 外心 C内心 D垂心12棱长为a的正四面体中,高为H,斜高为h,相对棱间的距离为d,则aHhd的大小关系正确的是( )ABCD二、填空题:本大题满分16分,每小题4分,各题只要求直接写出结果13正方体中,棱长为a,E是的中点,在对角面上取一点M
4、,使AM+ME最小,其最小值为 .14一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形,另一个是边长为1的正三角形,这样的三棱锥体积为 (写出一个可能值)15在正四棱锥PABCD中,若侧面与底面所成二面角的大小为60,则异面直线PA与BC所成角的大小等于 (结果用反三角函数值表示)16如图,在直四棱柱A1B1C1 D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件_时,有A1 BB1 D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)三、解答题:本大题满分74分17(10分)已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为, 试求第三条侧棱长的取值范围18(12分)今年庄稼丰收,这些粮食
5、往哪儿放呢?东东爹想了个好办法:拿一块长方形木板,借助两面墙,在偏屋的墙角处围一个直三棱柱的谷仓。而木板可以立着放,可以横着放,怎样放装粮食多呢? 19(12分)长方体的底面积是4,对角线长是4,求长方体侧面积的最大值20(12分) 已知简单多面体的顶点数面数数分别为VF E 多面体的各面为正x边形,过同一顶点的面数为y 求证: 21(14分)如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,D是BC的中点,AB=a ()求证:直线A1DB1C1; ()求点D到平面ACC1的距离; ()判断A1B与平面ADC的位置关系, 并证明你的结论22(14分)如图,在三棱锥中,平面,D为BC的中点(1)判断AD与SB
6、能否垂直,并说明理由; (2)若三棱锥的体积为,且为 钝角,求二面角的平面角的正切值;(3)在()的条件下,求点A到平面SBC的距离 参考答案一、选择题:每小题5分,共60分1D 2C 3C 4D 5B 6A 7C 8C 9C 10B 11B 12B6解:满足条件的四面体只有如下两种情形: 7解:该内接正八面体的棱长为 ,它的体积为选C10解: 设圆柱的底面半径为R,高为h,油桶直立时油面的高度为x,则 选B11解:BA=BC=BB,B在平面ACB上的射影到三个顶点的距离也相等,即射影为ACB的外心。答案:B12解:易得 .选B二、填空题:本大题满分16分,每小题4分 13 14 15 16A
7、CBD,或AB=AD且BC=DC13解: 设ACBD=O,则AO=CO 平面是线段AC的垂直平分面,C是A关于平面的对称点。连CE交面于M ,则M 就是要求的点,这时AM+ME 最小。又AM=CM, AM+ME的最小值就是CE 的长,而=, AM+ME的最小值为三、解答题:本大题满分74分 17 解: 如图, 四面体ABCD中,AB=BC=CA=1(2分), DA=DC=(4分), 只有棱DB的长x是可变的 在三角形ACD中, M为AC的中点, MD= MB=(6分)由MF-MBBDb0,又知道两墙面所成二面角为 (2分) 设b作底边,a作直三棱柱的侧棱,底面另两边为x,y, 则 (4分) (
8、6分) (8分)则当x=y时,(10分)同理,若a作底边,有当x=y时,所以把长边放在底面,短边作侧棱,且围成底面是等腰三角形时,容积最大。(12分)19 解:设长方体的底面长,宽分别为x,y, 高为z(2分) 则由:(1)、(2),得(4分) .(6分).(8分)将的二次函数视为的二次函数,它的增区间是0,12.(10分)由于,故当,取最大值128.的最大值为.(12分) 20证明:由题设,有 ,由此得到所证等式. 21 ()证法一:点D是正ABC中BC边的中点,ADBC,又A1A底面ABC,A1DBC ,BCB1C1,A1DB1C1 证法二:连结A1C1,则A1C=A1B 点D是正A1CB
9、的底边中BC的中点, A1DBC ,BCB1C1,A1DB1C1(4分)()解法一:作DEAC于E, 平面ACC1平面ABC,DE平面ACC1于E,即DE的长为点D到平面ACC1的 距离 在RtADC中,AC=2CD=所求的距离(9分)解法二:设点D到平面ACC1的距离为,体积 即点D到平面ACC1的距离为(9分) ()答:直线A1B/平面ADC1,证明如下:证法一:如图1,连结A1C交AC1于F,则F为A1C的中点,D是BC的中点,DFA1B, 又DF 平面ADC1,A1B平面ADC1,A1B平面ADC1 (14分)证法二:如图2,取C1B1的中点D1,则ADA1D1,C1DD1B,AD平面A1D1B,且C1D平面A1D1B,平面ADC1平面A1D1B,A1B平面A1D1B,A1B平面ADC1 (14分) 22 解:(1)因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直,否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾,所以AD与SB不垂直;(4分)(2)设,则 解得 ,所以(舍),平面ABC,AB=AC,D为BC的中点,则是二面角SBCA的平面角在中,,故二面角的正切值为;(9分)(3)由(2)知,平面SDA,所以平面SBC平面SDA,过点A作AESD,则AE平面SBC,于是点A到平面SBC的距离为AE,从而即A到平面SBC的距离为(14分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m