1、专题检测（十四） 圆锥曲线的方程与性质A组“633”考点落实练一、选择题1(2018全国卷)已知椭圆C：1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.B.C. D.解析：选Ca24228，a2，e.2一个焦点为(，0)且与双曲线1有相同渐近线的双曲线方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B设所求双曲线方程为t(t0)，因为一个焦点为(，0)，所以|13t|26.又焦点在x轴上，所以t2，即双曲线方程为1.3若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则OFP的面积为()A. B1C. D2解析：选B设P(x0，y0)，依题意可得|PF|x012，解得x01，故y41，
2、解得y02，不妨取P(1,2)，则OFP的面积为121.4(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B2C. D2解析：选De，1.双曲线的渐近线方程为xy0.点(4,0)到C的渐近线的距离d2.5已知双曲线x21 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，则|AB|()A2 B3C4 D21解析：选C设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a1，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|2a2，|BF1|BF2|2a2，又|AF1|BF1|，故|AF2|BF2|4，又|AB|AF2|
3、BF2|，故|AB|4.6(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A1 B2C. D.1解析：选D在RtPF1F2中，PF2F160，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|2，则|PF2|1，|PF1|，由椭圆的定义可知，方程1中，2a1，2c2，得a，c1，所以离心率e1.二、填空题7已知双曲线y21(a0)的渐近线方程为yx，则其焦距为_解析：由渐近线方程yx，可得，解得a，故c2，故焦距为4.答案：48设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则
4、C的离心率为_解析：设双曲线方程为1(a0，b0)，由题意可知，直线l过焦点，且垂直于x轴，将xc代入双曲线方程，解得y，则|AB|，由|AB|22a，则b22a2，所以双曲线的离心率e.答案：9已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x1，直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为(1,1)，则直线l的方程为_解析：依题意易得抛物线的方程为y24x，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为线段MN的中点为(1,1)，故x1x22，y1y22，则x1x2，由两式相减得yy4(x1x2)，所以2，故直线l的方程为y12(x1)，即2xy10.答案：2xy10三、解答题10(2018石家庄模
5、拟)设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为2.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x22，故直线AB的斜率k1.(2)由y，得yx.设M(x3，y3)，由题设知x31，于是M.设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(1,1m)，|MN|.将yxm代入y，得x22x2m0.由48m0，得m，x1,21.从而|AB|x1x2|2.由题设知|AB|2|MN|，即，解得m，所以直线AB的方程为yx.11(2018全国卷)设抛物线C：
6、y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)
7、2(y6)2144.12已知直线xky30所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程(2)已知圆O：x2y21，直线l：mxny1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长l的取值范围解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，直线xky30所经过的定点是(3,0)，即点F(3,0)因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a38，a5，所以b2523216，所以椭圆C的方程为1.(2)因为点P(m，n)在椭圆C上，所以1，即n216.又原点到直线l：mxny1的距离d0)，过焦点F的直线交C于
8、A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点 (1)若ABl，且ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切解：(1)ABl，|AB|2p.又|FD|p，SABDp21.p1，故抛物线C的方程为x22y.(2)证明：设直线AB的方程为ykx，由消去y得，x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.其中A，B.M，N.kAN.又x22py，即y，y.抛物线x22py在点A处的切线斜率k.直线AN与抛物线相切2(2018贵阳适应性考试)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为短轴的上端点，0，过F2垂直于x轴
9、的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点(2，1)且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点若k1，k2分别为直线MH，MG的斜率，求k1k2的值解：(1)由0，得bc.因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|，所以.又a2b2c2，联立，解得a22，b21，故椭圆C的方程为y21.(2)设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx2k1，将ykx2k1代入y21，得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0，由题设可知16k(k2)0，设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1x2，x1x2，k1k22k2k(2k1)1，所以k1k21.3
10、(2019届高三唐山五校联考)在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动， .记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，当点M在曲线E上时，求直线l的方程解：(1)设 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M的坐标为(x1x2，y1y2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，代入曲线E的方程，得(k22)x22kx10，
11、则x1x2，所以y1y2k(x1x2)2.由点M在曲线E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.此时直线l的方程为yx1.4.如图，椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OPOQ，求直线l的方程及椭圆C的方程解：(1)由已知|AB|BF|，得 a，即4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，所以e.(2)由(1)知a24b2，所以椭圆C的方程可化为1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由1，1，可得0，即0，即(y1y2)0，从而kPQ2，所以直线l的方程为y2，即2xy20.联立消去y，得17x232x164b20.则3221617(b24)0b，x1x2，x1x2.因为OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40，从而40，解得b1，所以椭圆C的方程为y21.综上，直线l的方程为2xy20，椭圆C的方程为y21.