1、课时作业提升(二十九)平面向量的数量积及应用A组夯实基础1已知向量a与b的夹角是，且|a|1，|b|4，若(3ab)a，则实数()ABC2D2解析：选A因为(3ab)a，所以(3ab)a3a2ab320，解得.2(2014全国卷)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1B2C3D5解析：选A由已知得|ab|210，|ab|26，两式相减，得ab1.3(2017全国卷)设非零向量a，b满足|ab|ab|，则()AabB|a|b|CabD|a|b|解析：选A方法一|ab|ab|，|ab|2|ab|2. a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A方法二利用向量加法的平行四边形法则在
2、ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A4已知向量与的夹角为120，且|2，|3，若，且，则实数的值为()AB13C6D解析：选D，()()2(1)246(1)cos12097120，.5设x，yR，向量a(x,1)，b(1, y)，c(2, 4)，且ac，bc，则|ab|等于()ABC2D10解析：选Ba(x,1)，b(1，y)， c(2，4)，由ac得ac0，即2x40，x2.由bc，得1(4)2y0，y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1)，|ab|.6若|ab|ab|2|a|，则向量ab与a的夹角为()ABCD解析：选B|a
3、b|ab|，|ab|2|ab|2，ab0，|ab|2|a|，|b|a|，设向量ab与a的夹角为，则cos .又0，.故选B7已知向量a(1,2)，b(m,1)，若向量a在b方向上的投影长为1，则m_.解析：1，解得m.答案：8已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是_.解析：由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos 0，cos ，又0，.答案：9如下图，在ABC中，AB3，AC2，D是边BC的中点，则_.解析：利用向量的加减法法则可知()()(22).答案：10已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为
4、_；的最大值为_.解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)设E(1，a)(0a1)，所以(1，a)(1,0)1，(1，a)(0,1)a1.故的最大值为1.答案：1111如图所示，(6,1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x与y之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若，求x，y的值及四边形ABCD的面积解：(1)因为(x4，y2)，又，且(x，y)，所以x(y2)y(x4)0，即x2y0.(2)由于(x6，y1)，(x2，y3)，又，所以(x6)(x2)(y1)(y3)0.联立化简，得y22y30，所以y3或y1.故当y3时，x
5、6，此时(0,4)，(8,0)，所以S四边形ABCD|16；当y1时，x2，此时(8,0)，(0，4)，所以S四边形ABCD|16.B组能力提升1在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析：选C由()|2，得()0，即()0，所以20，所以.所以A90，又因为根据条件不能得到|.故选C2如图所示，直线x2与双曲线C：y21的渐近线交于E1，E2两点记e1，e2，任取双曲线C上的点P，若ae1be2(a，bR)，则ab的值为()AB1CD解析：选A由题意易知E1(2,1)，E2(2，1)，e1(2,1)，e2(2，1)，故ae1be2(
6、2a2b，ab)，又点P在双曲线上，(ab)21，整理可得4ab1，ab.3(2018安徽皖江名校联考)在ABC中，已知向量(2,2)，|2，4，则ABC的面积为_.解析：因为(2,2)，所以|2.因为|cos A22cos A4，所以cos A，因为0A，所以sin A，所以SABC|sin A2.答案：24已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则()()_.解析：注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，2.又，且|T1，因此()()222.答案：25(2018 江西九校联考)在ABC中，角A
7、，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ac)c.(1)求角B的大小；(2)若|，求ABC面积的最大值解：(1)由题意得(ac)cos BbcosC根据正弦定理得(sin Asin C)cos Bsin Bcos C，所以sin Acos Bsin(CB)，即sin Acos Bsin A，因为A(0，)，所以sin A0，所以cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为|，所以|，即b，根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac (2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，故ABC的面积Sacsin B，即ABC的面积的最大值为.6已知函数f(x)ab，其中a(2cos x，
8、sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函数yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，求边长b和c的值解：(1)f(x)2cos2 xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函数yf(x)的单调递减区间为(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1，又2A，2A，即A.a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，sin B)与n(2，sin C)共线，2sin B3sin C，由正弦定理得2b3c，由得b3，c2.