1、甘肃省庄浪县第一中学2021届高三数学第四次模拟试题 理一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设集合，则（ ）ABC D2圆上的点到直线的距离的取值范围是（ ）ABCD3据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=的共轭复数为，则（ ）ABCD4将正整数12分解成两个正整数的乘积有，三种，其
2、中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当(且p)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前2020项和为（ ）AB C D5在不超过20的素数(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数)中，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于20的概率是（ ）ABCD6已知，平面ABC，若，则四面体PABC的外接球（顶点都在球面上）的体积为（ ）ABCD7若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是( )ABCD8在数列中，则（ ）ABCD9若将函数的图象向左平移个单位长度后.得到的函数图象关于对称.则函数在上的最小值
3、是（ ）ABCD010已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的的内切圆半径为（ ）ABCD11广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图，是由一个半径为的大圆和两个半径为的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为、，若一动点从点出发，按路线运动（其中、五点共线），设的运动路程为，与的函数关系式为，则的大致图象为（ ）ABCD12设实数，已知函数f(x)=，若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（本大题共20分，含4小题，每小题5分.）13已知等差数列前项的和为，若，且三点共线(该直线不过点)，则_14法国数学家拉格朗日于1778
4、年在其著作解析函数论中提出一个定理：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值则在区间上的拉格朗日中值_15设函数则使得f()f(3x-1)成立的x的取值范围是_.16若对任意，都有，（为正整数），则的值等于_.三、解答题:(本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积。182018年至今，美国对“中兴”、“华为”等中国高科技公司进行疯狂
5、的打压，引发国内“中国芯”研发热潮，但芯片的生产十分复杂，其中最重要的三种设备：刻蚀机、离子注入机、光刻机所需的核心技术仍被一些欧美国家垄断，国内某知名半导体公司组织多个科研团队，准备在未来2年内全力攻关这三项核心技术，已知在规定的2年内，刻蚀机、离子注入机和光刻机所需的三项核心技术，被科研团队攻克的概率分别为，各项技术攻关结果彼此独立按照该公司对科研团队的考核标准，在规定的2年内，攻克刻蚀机、离子注入机所需的核心技术，每项均可获得30分的考核分，攻克光刻机所需的核心技术，可获得60分的考核分，若规定时间结束时，某项技术未能被攻克，则扣除该团队考核分10分已知团队的初始分为0分，设2年结束时，
6、团队的总分为，求：（1）已知团队在规定时间内，将三项核心技术都攻克的概率为，求该团队恰能攻克三项核心技术中的一项的概率；（2）已知，求总分不低于50分的概率19如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，面面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由.20已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两直线与分别交椭圆于两点，若直线与的斜率互为相反数，求的最大值.21已知函数.（1）讨论函数的单调性.（2）若，设是函数的两个极值点，若，求证:.选做题：请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则
7、按所做的第一题计分22已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若曲线、交于、两点，求的值23已知，证明：(1)；(2).参考答案1D 2C 3A 4B 5A 6C 7C 8A 9D 10B 11A 12D13 14 15 16417解：（1）由正弦定理得，得.因为，所以，即.（2）在中AB=2，BC=3，解得.在中，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积.18解:（1）三项核心技术都攻克的概率为，故恰能攻克三项核心技术中的一项的概
8、率；（2）若三项技术都攻克，则，；若攻克光刻机技术和刻蚀机、离子注入机中的一项，则，；若技术刻蚀机和离子注入机，但未攻克光刻机技术，则，；所以，19解:（1）连接交于，连接，根据柱体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以是的中点，由于是的中点，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）因为四边形是正方形，所以，因为面面，面面，所以平面，则.因为，在三角形中由余弦定理得，所以，所以.以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.则.设平面的法向量为，则，令，则，故.设到平面的距离为，则.（3）假设线段上存在一点，使二面角为.设，则，.设平面的法向量为，则，令则，所以.由于平面，所以，是平面的一个法向量，所
9、以，解得（负根舍去）.所以在线段上存在一点，使二面角为，且.20解:（1）由题意，椭圆的离心率为，且过点.可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）设直线为，则直线为，联立方程组，整理得，由，解得，又由，可得，则，同理可得：，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.21解:(1)由题意得，函数的定义域为，.当时，函数在上单调递增.当时，令，得.若，则，此时函数单调递增；若，则，此时函数单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.(2)，.由得，.，解得.设，则，函数在上单调递减.当时，.时，成立.22解：（1）曲线的参数方程为为参数）转换为所以，得：曲线的极坐标方程为根据，转换为直角坐标方程为（2）点在直线上，转换为参数方程为为参数），代入，得到和为点和对应的参数），所以，所以23证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5ba5，即ab1时取等号；（2）a3+b32，（a+b）（a2ab+b2）2，（a+b）（a+b）23ab2，（a+b）33ab（a+b）2，ab，由均值不等式可得：ab（a+b）32，（a+b）32，a+b2，当且仅当ab1时等号成立