1、第七章 立体几何第三节空间点、直线、平面间的位置关系第七章 立体几何主干知识梳理一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl第七章 立体几何公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl第七章 立体几何相交一个平行没有任何没有平行第七章 立体几何相等或互补锐角(或直角)第七章 立体几何三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面内直线l与平面相交l无数个lA一个第七章 立体几何直线l与平面平行两个平
2、面平行l0个0个第七章 立体几何四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面相交个(这些公共点均在交线l上)l无数第七章 立体几何基础自测自评1(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A异面 B相交C不可能平行D不可能相交C由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab.与a，b是异面直线相矛盾第七章 立体几何2(2014广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件A若两直线为异面直线，则两直线无公共点
3、，反之不一定成立第七章 立体几何3已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交第七章 立体几何D若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线第七章 立体几何4(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为_解析 连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，D1
4、B1C60.答案 60第七章 立体几何5(教材习题改编)平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为_解析 如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条答案 5第七章 立体几何关键要点点拨1三个公理的作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线第七章 立体几何2异面直线的有关
5、问题(1)判定方法：反证法；利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图(2)所成的角的求法：平移法第七章 立体几何典题导入如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点平面的基本性质及应用第七章 立体几何第七章 立体几何第七章 立体几何第七章 立体几何第七章 立体几何规律方法1证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；将所有条件分为两部分
6、，然后分别确定平面，再证平面重合第七章 立体几何跟踪训练1(1)(2014福州一中月考)设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A若AC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若ABAC，DBDC，则ADBCD若ABAC，DBDC，则ADBC第七章 立体几何CA中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若ABAC，DBDC，AD不一定等于BC；D中，若ABAC，DBDC，可以证明ADBC.第七章 立体几何(2)对于四面体A
7、BCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点第七章 立体几何答案 Z第七章 立体几何典题导入 (2014石家庄一中高考补充练习)如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：空间中两条直线的位置关系第七章 立体几何BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是()ABCD第七章 立体几何听课记录 画出正方体，如图所示，易知，错误，正确故选C
8、.答案C第七章 立体几何规律方法1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线第七章 立体几何第七章 立体几何n与l都斜交，则m与n一定不垂直；m，n是内两相交直线，则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交则四个结论中正确的个数为()A1B2C3 D4第七章 立体几何B错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；错
9、误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；正确，否则，若mn，在直线m上取一点作直线al，由，得an.从而有n，则nl；正确第七章 立体几何典题导入 (2012大纲全国卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_异面直线所成角第七章 立体几何第七章 立体几何规律方法求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果
10、求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角第七章 立体几何跟踪训练3已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_解析 如图，连接DE.第七章 立体几何第七章 立体几何第七章 立体几何【创新探究】构造法判断空间线面位置关系(2012浙江高考)设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l第七章 立体几何【解析】设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故A错误；由于l，故在内存在直线ll.又因为l.所以l，故，所以B正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此C错误；已知，若a，l
11、a，且l不在平面，内，则l且l，因此D错误【答案】B第七章 立体几何【高手支招】(1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.第七章 立体几何第七章 立体几何第七章 立体几何体验高考1(文)(2013广东高考)设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则 D若，l，则l第七章 立体几何第七章 立体几何第七章 立体几何1(理)(2013广东高考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则第七章 立体几何第七章 立体几何第七章 立体几何第七章 立体几何第七章 立体几何3(2013江西高考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_第七章 立体几何解析 作FO平面CED，则EOCD，FO与正方体的侧棱平行，所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行，而与其他四个面相交答案 4第七章 立体几何课时作业
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