1、2015-2016学年福建省泉州市永春一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上1若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C60D1202已知直线l1：（k3）x+（4k）y+1=0与l2：2（k3）x2y+3=0平行，则k的值是（）A1或3B1或5C3或5D1或23已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x3）2+（x+4）2=16，则圆O1与圆O2的位置关系为（）A外切B内切C相交D相离4直线kxy3k+3=0经过点（）A（
2、3，0）B（3，3）C（1，3）D（0，3）5下列说法正确的是（）Aab，baBab，baCa，babD，aa6已知一个圆的圆心在x轴的正半轴上，且经过点（0，0），直线xy=0被该圆截得的弦长为2，则该圆的方程是（）Ax2+y2+4x=0Bx2+y24x=0Cx2+y26x=0Dx2+y24x+2=07在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=2AB若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为（）ABCD8已知A，B，C点在球O的球面上，BAC=90，AB=AC=2球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（）A12B16C36D209某
3、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD410已知圆O的圆心为坐标原点，半径为1，直线l：y=kx+t（k为常数，t0）与圆O相交于M，N两点，记MON的面积为S，则函数S=f（t）的奇偶性（）A偶函数B奇函数C既不是偶函数，也不是奇函数D奇偶性与k的取值有关11已知直线l：3x+4y12=0，若圆上恰好存在两个点P、Q，它们到直线l的距离为1，则称该圆为“理想型”圆则下列圆中是“理想型”圆的是（）Ax2+y2=1Bx2+y2=16C（x4）2+（y4）2=1D（x4）2+（y4）2=1612已知直线（m+1）x+（n+）y=与圆（x3）2+（y）2=5相切，若对任意的m，nR+
4、均有不等式2m+nk成立，那么正整数k的最大值是（）A3B5C7D9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上13两条平行直线3x+4y12=0与6x+8y+11=0间的距离是14已知圆锥的母线长为2，母线与旋转轴所成的角为30，则该圆锥的表面积等于15实数x，y满足（x3）2+（y3）2=1则的最小值是16空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离已知平面，两两互相垂直，点A，点A到，的距离都是3，点P是上的动点，满足P到的距离是到P到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到的距离的最小值是三、解答题：本
5、大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤请在答题卡各自题目的答题区域内作答17已知点M（2，0），两条直线l1：2x+y3=0与l2：3xy+6=0，直线l经过点M，并且与两条直线l1l2分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若A与B重合，求直线l的方程，若x1+x2=0，求直线l的方程18有100件规格相同的铁件（铁的密度是7.8g/cm3），该铁件的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成（图中单位cm）（1）指出该几何体的形状特征；（2）根据图中的数据，求出此几何体的体积；（3）问这100件铁件的质量大约有多重
6、（取3.1，取1.4）？19如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）若平面PAC平面ABC，且PA=PC，ABC=90，求证：平面PEF平面PBC20如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tanBCO=（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？21在棱长为2的正方体ABCDA
7、1B1C1D1中，设E是棱CC1的中点（1）求证：BDAE；（2）求证：AC平面B1DE；（3）求三棱锥AB1DE的体积22已知圆C：x2+y22x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x4y15=0（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由2015-2016学年福建省泉州市永春一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在
8、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上1若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C60D120【考点】直线的倾斜角【分析】先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值【解答】解：若直线经过两点，则直线的斜率等于 =设直线的倾斜角等于，则有tan=再由 0可得 =，即=30，故选A2已知直线l1：（k3）x+（4k）y+1=0与l2：2（k3）x2y+3=0平行，则k的值是（）A1或3B1或5C3或5D1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】
9、当k3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k30时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值【解答】解：由两直线平行得，当k3=0时，两直线的方程分别为 y=1 和 y=，显然两直线平行当k30时，由 =，可得 k=5综上，k的值是 3或5，故选 C3已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x3）2+（x+4）2=16，则圆O1与圆O2的位置关系为（）A外切B内切C相交D相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切【解答】解：圆O1的圆心为O（0，0），半径等于1，圆O2的圆心为（3，4），半径等于4，它们的
10、圆心距等于=5，等于半径之和，故两个圆相外切，故选A4直线kxy3k+3=0经过点（）A（3，0）B（3，3）C（1，3）D（0，3）【考点】恒过定点的直线【分析】kxy3k+3=0k（x3）y+3=0，依题意知x3=0，从而可得答案【解答】解：kxy3k+3=0，k（x3）y+3=0，不论k取何值，k（x3）y+3=0恒过定点，解得x=3，y=3直线kxy3k+3=0经过点（3，3）故选：B5下列说法正确的是（）Aab，baBab，baCa，babD，aa【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】ab，ba或a；ab，ba或a与相交；a，bab；，aa，或a，或a与相交【解答】解：ab，
11、ba或a，故A不正确；ab，ba或a与相交，故B不正确；a，bab，故C正确；，aa，或a，或a与相交，故D不正确故选C6已知一个圆的圆心在x轴的正半轴上，且经过点（0，0），直线xy=0被该圆截得的弦长为2，则该圆的方程是（）Ax2+y2+4x=0Bx2+y24x=0Cx2+y26x=0Dx2+y24x+2=0【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程【分析】根据一个圆的圆心在x轴的正半轴上，设出圆心坐标为（a，0），且a大于0，半径为r，表示出圆的标准方程，由圆经过（0，0），把（0，0）代入所设的圆的方程，得到a=r，可得到圆心坐标为（r，0），然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直
12、线的距离d，由已知弦长的一半，圆的半径r以及d，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解可得到r的值，确定出圆心坐标和半径，进而确定出圆的标准方程【解答】解：由题意设圆心坐标为（a，0）（a0），圆的半径为r，圆的方程为（xa）2+y2=r2（r0），又圆经过（0，0），a2=r2，即a=r，圆心坐标为（r，0），圆心到直线xy=0的距离d=，又弦长为2，即弦长的一半为1，r2=d2+12，即r2=r2+1，解得：r=2，圆心坐标为（2，0），半径r=2，则圆的标准方程为：（x2）2+y2=4，即x2+y24x=0故选B7在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=2AB若E，F分别为
13、线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为（）ABCD【考点】直线与平面所成的角【分析】取BB1中点为N，连接FN，取FN中点为M，连接A1M，A1F，易得MA1N为直线EF与平面ABB1A1所成角，解MA1N即可求出直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值，进而可求正弦值【解答】解：取DD1中点为N，连接FN，可得FN平面ADD1A1，EN是EF在面A1ADD1上的投影FEN为所求的角令AB=1，在EFN中，FN=1，EN=，EF=，则sinFEN=故选C8已知A，B，C点在球O的球面上，BAC=90，AB=AC=2球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为
14、（）A12B16C36D20【考点】球的体积和表面积【分析】由BAC=90，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在RtOMB中，OM=1，MB=，则OA可求【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在RtOMB中，OM=1，MB=，OA=，即球的半径为，球O的表面积为12故选：A9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD4【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图得出几何体的直观图，得出几何性质，根据组合体得出体积【
15、解答】解：根据三视图可判断：几何体如图，A1B1A1C1，AA1面ABC，AB=AC=CC1=2，CE=1直三棱柱上部分截掉一个三棱锥，该几何体的体积为VVEABC=4=故选：A10已知圆O的圆心为坐标原点，半径为1，直线l：y=kx+t（k为常数，t0）与圆O相交于M，N两点，记MON的面积为S，则函数S=f（t）的奇偶性（）A偶函数B奇函数C既不是偶函数，也不是奇函数D奇偶性与k的取值有关【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据直线和圆的位置关系求出圆心到直线的距离以及弦长，求出三角形的面积，结合函数奇偶性的定义进行判断即可【解答】解：圆的标准方程为x2+y2=1，圆心到直线的距离d=，弦MN
16、的长度l=，则MON的面积为S=f（t）=，则f（t）=f（t），故函数f（t）为偶函数故选：A11已知直线l：3x+4y12=0，若圆上恰好存在两个点P、Q，它们到直线l的距离为1，则称该圆为“理想型”圆则下列圆中是“理想型”圆的是（）Ax2+y2=1Bx2+y2=16C（x4）2+（y4）2=1D（x4）2+（y4）2=16【考点】圆的标准方程【分析】所找的圆的圆心到直线PQ的距离小于该圆的半径，由此能求出结果【解答】解：在一个圆上恰好存在两个点P、Q使得他们到直线L的距离为1也就是说，直线PQ直线l，也就是说，所找的圆的圆心到直线PQ的距离小于该圆的半径因此设直线PQ为3x+4y+m=0
17、由两平行线间的距离公式可得m=7或者17将两个m值分别代入直线PQ验证A、B、C、D中圆心到PQ的距离只有D符合，故选：D12已知直线（m+1）x+（n+）y=与圆（x3）2+（y）2=5相切，若对任意的m，nR+均有不等式2m+nk成立，那么正整数k的最大值是（）A3B5C7D9【考点】直线与圆的位置关系【分析】利用圆心（3，）到直线（m+1）x+（n+）y=0的距离等于半径，令2m+n=t，求得t的最小值即为正整数k的最大值【解答】解：直线（m+1）x+（n+）y=0与圆（x3）2+=5相切，圆心（3，）到直线（m+1）x+（n+）y=0的距离d等于半径，即d=，=，两端平方，整理得：4m
18、2+n25（2m+n）=6mn，即（2m+n）25（2m+n）=（46）mn（32）2mn=+5（2m+n）（2m+n）2（32），令t=2m+n（t0），则（3+2）t220t250，=（20）24（25）（3+2）=600+300，t=，tmin=（3，4），正整数k2m+n=t恒成立，k=3故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上13两条平行直线3x+4y12=0与6x+8y+11=0间的距离是【考点】两条平行直线间的距离【分析】利用两条平行线Ax+By+C1=9与Ax+By+C2=0之间的距离公式d=即可得出【解答】解：6x+8y+11=0化为
19、3x+4y+=0两条平行直线3x+4y12=0与6x+8y+11=0的距离d=故答案为：14已知圆锥的母线长为2，母线与旋转轴所成的角为30，则该圆锥的表面积等于【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】首先求得圆锥的底面半径，再求得底面周长即展开图中的扇形的弧长，根据扇形的面积公式，即可求解【解答】解：圆锥的母线长为2，母线与旋转轴所成的角为30，圆锥的底面半径为1，圆锥的底面周长是2则圆锥的底面面积为，圆锥的侧面积是：22=2，圆锥的表面积等于3故答案为：315实数x，y满足（x3）2+（y3）2=1则的最小值是【考点】直线与圆的位置关系【分析】确定方程（x3）2+（y3）2=1的几何意义
20、，的几何意义，即可求得结论【解答】解：方程（x3）2+（y3）2=1表示以（3，3）为圆心，1为半径的圆，要求=的最小值，求出x2+（y+1）2的最小值即可x2+（y+1）2表示圆上的点到（0，1）距离的平方圆心到（0，1）的距离为=5，x2+（y+1）2的最小值为（51）2=16的最小值为故答案为：16空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离已知平面，两两互相垂直，点A，点A到，的距离都是3，点P是上的动点，满足P到的距离是到P到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到的距离的最小值是【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】原题等
21、价于在直角坐标系中，点A（3，3），P第一象限内的动点，满足P到Y轴的距离是到P到点A 距离的2倍，则点P的轨迹上的点到x轴的距离的最小值是多少【解答】解：设P（x，y），P的轨迹方程为x=2，x2=4（x3）2+4（y3）2，（y3）2= x24（x3）2=x2+6x9，当x=4时，（y3）2取得最大值3（y3）2=3，y=3+，或y=3，点P 的轨迹上的点到 的距离的最小值是3故答案为：3三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤请在答题卡各自题目的答题区域内作答17已知点M（2，0），两条直线l1：2x+y3=0与l2：3xy+6=0，直线l经过点M，并
22、且与两条直线l1l2分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若A与B重合，求直线l的方程，若x1+x2=0，求直线l的方程【考点】待定系数法求直线方程【分析】（1）若A与B重合，可得直线过l1l2的交点N的坐标，可得方程；（2）直线l过点M且斜率不存在时，不满足x1+x2=0；直线l过点M且斜率存在时，设其方程为y=k（x2），分别解方程组可得x1和x2，由x1+x2=0可得k的方程，解方程可得k值，可得直线方程【解答】解：（1）若A与B重合，则直线过l1l2的交点N，联立2x+y3=0与3xy+6=0可解得x=且y=，直线过点M（2，0）和N（，），直线的斜率kMN=，直线的方程为
23、y0=（x2），即21x+13y42=0；（2）直线l过点M且斜率不存在时，不满足x1+x2=0；直线l过点M且斜率存在时，设其方程为y=k（x2），联立y=k（x2）和2x+y3=0可解得x1=（k2），联立y=k（x2）和3xy+6=0可解得x2=（k3），x1+x2=0，+=0，解得k=或k=1，可得方程为x+y2=0或3x+4y6=0；综合可得直线的方程为：21x+13y42=0或x+y2=0或3x+4y6=018有100件规格相同的铁件（铁的密度是7.8g/cm3），该铁件的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成（图中单位cm）（1）指出
24、该几何体的形状特征；（2）根据图中的数据，求出此几何体的体积；（3）问这100件铁件的质量大约有多重（取3.1，取1.4）？【考点】由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图【分析】（1）由三视图可知，该几何体是个组合体；上部分是个正三棱锥，其三条侧棱两两垂直；下部分为一个半球；（2）分别求出棱锥的体积和半球的体积，相加可得答案；（3）计算出这100件铁件的体积和，乘以密度后可得质量【解答】解：（1）由三视图可知，该几何体是个组合体；上部分是个正三棱锥，其三条侧棱两两垂直；下部分为一个半球，并且正三棱锥的一个侧面与半球的底面相切（2）由图可知：球半径所以该几何体体积V=（3）这100件铁件的质
25、量m：答：这批铁件的质量超过694g19如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）若平面PAC平面ABC，且PA=PC，ABC=90，求证：平面PEF平面PBC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）利用E，F分别是AC，BC的中点，说明EFAB，通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF平面PAB（2）证明PEAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明PE平面ABC，通过证明PEBCEFBC，EFPE=E，证明BC平面PEF，然后推出平面PEF平面PBC【解答】（本小题满分14分）证明：（1）E，F分别是AC，BC的中点，EFA
26、B又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB（2）在三角形PAC中，PA=PC，E为AC中点，PEAC平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，PE平面ABCPEBC又EFAB，ABC=90，EFBC，又EFPE=E，BC平面PEF平面PEF平面PBC20如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tanBCO=（1）求新桥BC的长；（
27、2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BEOC于E，过A作AFBE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；（2）设BC与M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大【解答】解：（1）如图，过B作BEOC于E，过A作AFBE于F，ABC=90，BEC=90，ABF=BCE，设AF=4x（m），则BF=3x（m
28、）AOE=AFE=OEF=90，OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），BE=（3x+60）m，CE=（m）（m），解得：x=20BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与M切于Q，延长QM、CO交于P，POM=PQC=90，PMO=BCO设OM=xm，则OP=m，PM=mPC=m，PQ=m设M半径为R，R=MQ=m=mA、O到M上任一点距离不少于80m，则RAM80，ROM80，136（60x）80，136x80解得：10x35当且仅当x=10时R取到最大值OM=10m时，保护区面积最大21在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，设E是棱CC1的中点（
29、1）求证：BDAE；（2）求证：AC平面B1DE；（3）求三棱锥AB1DE的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）通过证明BD平面AEC，得出BDAE；（2）通过ACC1的中位线证明线线平行，再证明线面平行；（3）点A到平面B1DE的距离等于点C到平面B1DE的距离，利用等积法求出三棱锥AB1DE的体积【解答】解：（1）证明：连接BD，AE，四边形ABCD是正方形，BDAC，又EC底面ABCD，BD面ABCD，ECBD，且ECAC=C，BD平面AEC，又AE平面AEC，BDAE；（2）证明：连接AC1，设AC1B1D=G，则G为AC1的中点，E为C1C的中点，G
30、E为ACC1的中位线，ACGE，GE平面B1DE，AC平面B1DE，AC平面B1DE；（3）由（2）知，点A到平面B1DE的距离等于点C到平面B1DE的距离，三棱锥AB1DE的体积是=DC=（12）2=，三棱锥AB1DE的体积为22已知圆C：x2+y22x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x4y15=0（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由【考点】相交弦所在直线的方程
31、；圆与圆的位置关系及其判定【分析】（1）根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线l；（3）根据两点间的距离公式结合弦长关系即可得到结论【解答】解：（1）因为圆的圆心O（0，0），半径r=5，所以，圆心O到直线l：3x4y15=0的距离d：，由勾股定理可知，圆被直线l截得的弦长为（2）圆C与圆C1的公共弦方程为2x4my4m225=0，因为该公共弦平行于直线3x4y15=0，则，解得：m=经检验m=符合题意，故所求m=； （3）假设这样实数m存在设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|所以点P（2，0）在以弦AB为直径的圆上 设以弦AB为直径的圆方程为：x2+y22x+4my+4m2+（3x4y15）=0，则消去得：100m2144m+216=0，25m236m+54=0因为=36242554=36（36256）0所以方程25m236m+54=0无实数根，所以，假设不成立，即这样的圆不存在 2016年10月13日