1、课时作业45直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1设，为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l不能推出l.因此“l”是“”成立的充分不必要条件，故选A.2设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(B)A若a，b，则abB若a，ab，则bC若a，ab，则bD若a，ab，则b解析：若a，b，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a，ab，则b或b，故C错误；若a，ab，则b或b或b与相交，故D错误3(2019安徽池州联考)已知，是两个不同的平面，m
2、，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是(C)A若m，mn，n，则B若，m，n，则mnC若，m，n，则mnD若，m，n，mn，则m解析：根据线面垂直的判定可知，当m，mn，n时可得n，则，所以A不符合题意；根据面面平行的性质可知，若，m，n，则m，故mn，所以B不符合题意；根据面面平行的性质可知，m，n可能平行或异面，所以C符合题意；根据面面垂直的性质可知，若，m，n，mn，则m，所以D不符合题意故选C.4.(2019贵阳监测考试)如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是(B)AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC解析：A中，因为AP
3、PB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC，又BC平面PBC，所以APBC，故A能证明APBC；C中，因为平面BPC平面APC，BCPC，所以BC平面APC，又AP平面APC，所以APBC，故C能证明APBC；由A知D能证明APBC；B中条件不能判断出APBC，故选B.5(2019福建宁德质检)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论错误的是(D)ABD平面CB1D1B异面直线AD与CB1所成的角为45CAC1平面CB1D1DAC1与平面ABCD所成的角为30解析：因为BDB1D1，所以BD平面CB1D1，A不符合题意；因为ADBC，所以异面直线AD与CB1所成的角为BCB145，
4、B不符合题意；因为AC1B1D1，AC1B1C，所以AC1平面CB1D1，C不符合题意；AC1与平面ABCD所成的角为CAC130，故选D.6(2019福建泉州质检)如图，在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是(D)解析：如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，且六点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A，B，C中的平面与这个平面重合，满足题意对于选项D中图形，由于E，F为AB，A1B1的中点，所以EFBB1，故B1BD1为异面直线EF与BD1所成的角，
5、且tanB1BD1，即B1BD1不为直角，故BD1与平面EFG不垂直，故选D.7.三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(A)CC1与B1E是异面直线；AE与B1C1是异面直线，且AEB1C1；AC平面ABB1A1；A1C1平面AB1E.A BC D解析：对于，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AEBC，又B1C1BC，故AE与B1C1是异面直线，且AEB1C1，故正确；对于，上底面ABC
6、是一个正三角形，不可能存在AC平面ABB1A1，故错误；对于，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误故选A.二、填空题8.如图，已知BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有AB，BC，AC；与AP垂直的直线有AB.解析：PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC.ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，又AP平面PAC，ABAP，与AP垂直的直线是AB.9若，是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为.若m，则在内一定不存在与m平行的直线；若m，则在内一定存在无数条直线与m垂直；若m，则在
7、内不一定存在与m垂直的直线；若m，则在内一定存在与m垂直的直线解析：对于，若m，如果，互相垂直，则在平面内存在与m平行的直线，故错误；对于，若m，则m垂直于平面内的所有直线，则内与、的交线平行的直线都与m垂直，故在平面内一定存在无数条直线与m垂直，故正确；对于，若m，则在平面内一定存在与m垂直的直线，故错误，正确10(2019广东七校联考)如图，在矩形ABCD中，AB8，BC4，E为DC边的中点，沿AE将ADE折起，在折起过程中，下列结论中能成立的序号为.ED平面ACD；CD平面BED；BD平面ACD；AD平面BED.解析：因为在矩形ABCD中，AB8，BC4，E为DC边的中点，则折叠时，D点
8、在平面BCE上的射影的轨迹为O1O2(如图)因为折起过程中，DE与AC所成角不能为直角，所以DE不垂直于平面ACD，故不符合；只有D点射影位于O2位置，即平面AED与平面AEB重合时，才有BECD，所以折起过程中CD不垂直于平面BED，故不符合；折起过程中，BD与AC所成的角不能为直角，所以BD不垂直于平面ACD，故不符合；因为ADED，并且在折起过程中，当点D的射影位于O点时，ADBE，所以在折起过程中，AD平面BED能成立，故符合三、解答题11(2019昆明市调研测试)如图，在三棱锥PABC中，ABC90，平面PAB平面ABC，PAPB，点D在PC上，且BD平面PAC.(1)证明：PA平面
9、PBC；(2)若ABBC2，求三棱锥DPAB与三棱锥DABC的体积比解：(1)证明：因为BD平面PAC，PA平面PAC，所以BDPA，因为ABC90，所以CBAB，又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，所以CB平面PAB，又PA平面PAB，所以CBPA，又CBBDB，所以PA平面PBC.(2)因为三棱锥DPAB的体积VDPABVAPBDSPBDPABDPDPA，三棱锥DABC的体积VDABCVABCDSBCDPABDCDPA，所以.设AB2，BC，因为PA平面PBC，PB平面PBC，所以PAPB，又PAPB，所以PB，在RtPBC中，PC2，又BD平面PAC，PC平面PAC，所以B
10、DPC，所以CD，PD，所以，即三棱锥DPAB与三棱锥DABC的体积比为.12(2019河南郑州质检)在如图所示的五面体EFABCD中，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF2，EFAB，M为BC的中点(1)求证：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求F到平面BDE的距离解：(1)证明：如图，取BD中点O，连接OM，OE，因为O，M分别为BD，BC的中点，所以OMCD，且OMCD.因为四边形ABCD为菱形，所以CDAB.又EFAB，所以CDEF.又ABCD2，所以EFCD.所以OM綊EF，所以四边形OMFE为平行四边形，所以FMOE.又OE平面BDE，FM平面BDE
11、，所以FM平面BDE.(2)由(1)知FM平面BDE，所以F到平面BDE的距离等于M到平面BDE的距离如图，取AD的中点H，连接EH，BH，EM，DM.因为四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF，所以EHAD，BHAD.因为平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，所以EH平面ABCD，EHBH.因为EHBH，所以BE.所以SBDE.设F到平面BDE的距离为h，又因为SBDMSBCD22sin60，所以由V三棱锥EBDMV三棱锥MBDE，得h，解得h.即F到平面BDE的距离为.13(2019江西赣州联考)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1
12、上有两个动点E，F，且EF，则下列结论：EF平面ABCD；平面ACF平面BEF；三棱锥EABF的体积为定值；存在某个位置使得异面直线AE与BF所成的角为30.其中正确的是.(写出所有正确的结论序号)解析：由正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF知，在中，由EFBD，且EF平面ABCD，BD平面ABCD，得EF平面ABCD，故正确；在中，如图，连接BD，CF，由ACBD，ACDD1，可知AC平面BDD1B1，而BE平面BDD1B1，BF平面BDD1B1，则AC平面BEF.又因为AC平面ACF，所以平面ACF平面BEF，故正确；在中，三棱锥EABF的体积与
13、三棱锥ABEF的体积相等，三棱锥ABEF的底面积和高都是定值，故三棱锥EABF的体积为定值，故正确；在中，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，可求解OBC130，故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30，故正确14(2019山东日照二模)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1.(1)若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO；(2)求三棱锥PABC体积的最大值；(3)若BC，点E在线段PB上，求CEOE的最小值解：(1)证明：在AOC中，因为OAOC，D为AC的中点，所以ACDO.又PO垂
14、直于圆O所在的平面，所以POAC.因为DOPOO，所以AC平面PDO.(2)因为点C在圆O上，所以当COAB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB2，所以ABC面积的最大值为211.又因为三棱锥PABC的高PO1，故三棱锥PABC体积的最大值为11.(3)在POB中，POOB1，POB90，所以PB.同理PC，所以PBPCBC.在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP，使之与平面ABP共面，如图所示当O，E，C共线时，CEOE取得最小值又因为OPOB，CPCB，所以OC垂直平分PB，即E为PB中点从而OCOEEC，即CEOE的最小值为.15如图，一张A4纸的长、宽分别为2a,2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体下列关于该多面体的命题，正确的是.(写出所有正确命题的序号)该多面体是三棱锥；平面BAD平面BCD；平面BAC平面ACD；该多面体外接球的表面积为5a2.解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故正确；APBP，APCP，BPCPP，AP平面BCD，又AP平面ABD，平面BAD平面BCD，故正确；同理可证平面BAC平面ACD，故正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径Ra，所以该多面体外接球的表面积为5a2，故正确综上，正确命题的序号为.