1、第三节函数的奇偶性与周期性考点高考试题考查内容核心素养函数的奇偶性2015全国卷T135分利用函数奇偶性求参数逻辑推理数学运算 2014全国卷T35分判断函数的奇偶性2014全国卷T155分解不等式函数的周期未单独考查命题分析函数的奇偶性的判断及应用、周期性及应用是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数概念、图象、其他性质等综合考查.1函数奇偶性定义及图象特征奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于
2、原点对称2函数的周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期提醒：(1)函数奇偶性的重要结论如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶
3、函数在两个对称的区间上具有相反的单调性在公共定义域内，有下列结论成立“奇函数奇函数奇函数”，“偶函数偶函数偶函数”；“奇函数奇函数偶函数”，“偶函数偶函数偶函数”，“奇函数偶函数奇函数”(2)函数周期性的重要结论周期函数的定义式f(xT)f(x)对定义域内的x是恒成立的，若f(xa)f(xb)，则函数f(x)的周期为T|ab|.若在定义域内满足f(xa)f(x)，f(xa)，f(xa)(a0)则f(x)为周期函数，且T2a为它的一个周期对称性与周期的关系：a若函数f(x)的图象关于直线xa和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期b若函数f(x)的图象关于点(a,0)
4、和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|ab|是它的一个周期c若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线xb对称，则函数f(x)必为周期函数，4|ab|是它的一个周期1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(4)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()(5)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()答案：(1)(2)(3)(4)
5、(5)2(教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数， 且当x0时，f(x)x2，则f(1)等于()A2B0C1D2解析：选Af(1)f(1)(11)2.3已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()AB.C.D解析：选B依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.4下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2x 解析：选B选项A，f(x)(x)2sin(x)x2sin xf(x)，所以为奇函数；选项B，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，所以为偶函数；选项C，f(x)|ln(x)|，f(x)f(x)，f(x
6、)f(x)，所以非奇非偶函数；选项D非奇非偶函数判断函数的奇偶性明技法判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：即根据奇、偶函数的定义来判断；(2)图象法：即利用奇、偶函数的对称性来判断；(3)性质法：即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断提能力【典例】 (1)(2018肇庆模拟)下列函数为偶函数的是()Aysin xByln(x)CyexDyln(2)(2014全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|
7、是奇函数解析：(1)选D由函数奇偶性的定义知D项为偶函数(2)选Cf(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.刷好题1(金榜原创)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上递增的函数为()Ayx3By|log2x|Cyx2Dy|x|解析：选Dyx3是奇函数；函数y|log2x|的定义域(0，)不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；yx2在(0，)上单调递减；函数y|x|是偶函数，且在区间(0，)上递增，D正确2下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是()AyByx33x3x
8、Cylog3xDyex解析：选B选项A，y的定义域为(，0)(0，)，但其在定义域上不是单调递增函数；选项B，yf(x)x33x3x在其定义域R上是增函数，又f(x)x33x3x(x33x3x)f(x)，所以yf(x)为奇函数；选项C，ylog3x的定义域为(0，)，是增函数但不是奇函数；选项D，yex在其定义域R上是增函数，但为非奇非偶函数函数的周期性明技法函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意
9、结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期提能力【典例】 定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x0时，由f(a)f(2)可得a2，当a0时，由f(a)f(2)f(2)，可得a2.所以实数a的取值范围是(，22，)答案：(，22，)命题点4：函数单调性、奇偶性与周期性的综合【典例4】 (2018烟台月考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析：选Df(x)满
10、足f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)悟技法函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的
11、自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解刷好题1(2018石家庄质检)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A(1,4)B(2,0)C(1,0)D(1,2)解析：选Af(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4，故选A.2(2018哈尔滨质检)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1， x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)21，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)0在1,3上的解集为()A(1,3)B(1,1)C(1,0)(1,3)D(1,0)(0,1)解析：选Cf(x)的图象如图当x(1,0)时，由xf(x)0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x；当x(1,3)时，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)4(2018日照模拟)设函数f(x)为奇函数，则a_.解析：f(x)为奇函数，f(1)f(1)0，即0，a1.答案：1