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2013届高三理科数学高考专题综合测试 专题3 WORD版含答案.doc

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资源描述

1、专题三综合测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知圆O的方程是x2y28x2y100,过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是()Axy30Bxy30C2xy60 D2xy60解析:x2y28x2y100,即(x4)2(y1)27,圆心O(4,1),设过点M(3,0)的直线为l,则kOM1,故kl1,y1(x3),即xy30.答案:A2过点(1,3)且平行于直线x2y30的直线方程为()Ax2y70 B2xy10Cx2y50 D2xy50解析:因为直线x2y30的斜率是,故所求直线的方程为

2、y3(x1),即x2y70.答案:A3曲线y2xx3在横坐标为1的点处的切线为l,则点P(3,2)到直线l的距离为()A. B.C. D.解析:曲线y2xx3在横坐标为1的点处的纵坐标为1,故切点坐标为(1,1)切线斜率为ky|x123(1)21,故切线l的方程为y(1)1x(1),整理得xy20,由点到直线的距离公式得点P(3,2)到直线l的距离为.答案:A4若曲线x2y22x6y10上相异两点P、Q关于直线kx2y40对称,则k的值为()A1 B1C. D2解析:曲线方程可化为(x1)2(y3)29,由题设知直线过圆心,即k(1)2340,k2.故选D.答案:D5直线axy0(a0)与圆x

3、2y29的位置关系是()A相离 B相交C相切 D不确定解析:圆x2y29的圆心为(0,0),半径为3.由点到直线的距离公式d得该圆圆心(0,0)到直线axy0的距离d,由基本不等式可以知道,从而d10,b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为()A. B.C. D2解析:焦点到渐近线的距离等于实轴长,可得b2a,e215,所以e.答案:C12(2011济南市质量调研)已知点F1、F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是()A(1,) B(,2)C(1,) D(1,1)解析

4、:依题意得,0AF2F1,故0tanAF2F11,则1,即e2,e22e10,(e1)22,所以1e1,选D.答案:D二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填在题中的横线上13(2011安徽“江南十校”联考)设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|PF1|的最大值为_解析:由椭圆定义|PM|PF1|PM|25|PF2|,而|PM|PF2|MF2|5,所以|PM|PF1|25515.答案:1514(2011潍坊市高考适应性训练)已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且一条渐近线为直线xy0,则该双曲线的离心率等于_解析:设双

5、曲线方程为1,则,3,3,e2.答案:215(2011潍坊2月模拟)双曲线1的右焦点到渐近线的距离是_解析:双曲线右焦点为(3,0),渐近线方程为:yx,则由点到直线的距离公式可得距离为.答案:16(2011郑州市质量预测(二)设抛物线x24y的焦点为F,经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点,且点P恰为AB的中点,则|_.解析:x24y,p2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x22,y1y28.|y1,|y2,|y1y2p8210.答案:10三、解答题:本大题共6小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)(2011陕西)如图,设P是圆

6、x2y225上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解:(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),由已知得P在圆上,x2225,即点M的轨迹C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3),设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y(x3)代入C的方程,得1,即x23x80.x1,x2.线段AB的长度为|AB| .18(本小题满分12分)(2011广东)设圆C与两圆(x)2y24,(x)2y24中的一个内切,另一个

7、外切(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点M,F(,0)且P为L上动点,求|MP|FP|的最大值及此时点P的坐标解:(1)设动圆C的圆心C(x,y),半径为r.两个定圆半径均为2,圆心分别为F1(,0),F2(,0),且|F1F2|2.若C与F1外切与F2内切,则 |CF1|CF2|(r2)(r2)4若C与F1内切与F2外切,则|CF2|CF1|(r2)(r2)4.|CF1|CF2|4且42.动点C的轨迹是以F1,F2为焦点,实轴长为4的双曲线这时a2,c,bc2a21,焦点在x轴上点C轨迹方程为y21.(2)若P在y21的左支上,则|PM|PF|0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线

8、yx2上运动,点Q满足,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足,求点P的轨迹方程解:由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2y0(yx2),即y0(1)x2y. 再设B(x1,y1),由,即(xx1,y0y1)(1x,1y0),解得 将式代入式,消去y0,得 又点B在抛物线yx2上,所以y1x,再将式代入y1x,得(1)2x2(1)y(1)x2.(1)2x2(1)y(1)2x22(1)x2.2(1)x(1)y(1)0.因0,两边同除以(1),得2xy10.故所求点P的轨迹方程为y2x1.20(本小题满分12分)(2011

9、天津)在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)(ab0)为动点,F1、F2分别为椭圆1的左、右焦点已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足2,求点M的轨迹方程解:(1)设F1(c,0),F2(c,0)(c0),由题意,可得|PF2|F1F2|,即2c,整理得2210,得1(舍)或,所以e.(2)由(1)知a2c,hc,可得椭圆方程为3x24y212c2.直线PF2方程为y(xc)A,B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得5x28cx0,解得x10,x2c,得方程组的解不妨设A,B(0,c)设点M的坐标为(x,y),则

10、,(x,yc)由y(xc),得cxy,于是,(x,x),由2,即xx2,化简得18x216xy150.将y代入cxy,得c0,所以x0.因此,点M的轨迹方程是18x216xy150(x0)21(本小题满分12分)(2011山东)已知动直线l与椭圆C:1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且OPQ的面积SOPQ,其中O为坐标原点(1)证明xx和yy均为定值;(2)设线段PQ的中点为M,求|OM|PQ|的最大值;(3)椭圆C上是否存在三点D,E,G,使得SODESODGSOEG?若存在,判断DEG的形状;若不存在,请说明理由解:(1)证明:当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称

11、所以x2x1,y2y1,因为P(x1,y1)在椭圆上,因此1. 又因为SOPQ.所以|x1|y1|. 由得|x1|,|y1|1,此时xx3,yy2.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykxm.由题意知m0,将其代入1得(23k2)x26kmx3(m22)0.其中36k2m212(23k2)(m22)0.即3k22m2. (*)又x1x2,x1x2.所以|PQ|.因为点O到直线l的距离为d.所以SOPQ|PQ|d又SOPQ.整理得3k222m2,且符合(*)式此时,xx(x1x2)22x1x2223.yy(3x)(3x)4(xx)2.综上所述,xx3;yy2,结论成立(2)解法一:当直线l的

12、斜率不存在时由(1)知|OM|x1|.|PQ|2|y1|2.因此|OM|PQ|2.当直线l的斜率存在时,由(1)知:.kmm.|OM|222.|PQ|2(1k2)2.所以|OM|2|PQ|222.所以|OM|PQ|,当且仅当32,即m时,等号成立综合(1)(2)得|OM|PQ|的最大值为.解法二:因为4|OM|2|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2(x2x1)2(y2y1)22(xx)(yy)10.所以2|OM|PQ|5.即|OM|PQ|,当且仅当2|OM|PQ|时等号成立因此|OM|PQ|的最大值为.(3)椭圆C上不存在三点D,E,G,使得SODESODGSOEG.证明:假设存在D(u,v

13、),E(x1,y1),O(x2,y2)满足SODESODGSOEG,由(1)得u2x3,u2x3,xx3,v2y2,v2y2,yy2,解得:u2xx,v2yy1.因此,u,x1,x2只能从中选取,v,y1,y2只能从1中选取,因此D、E、G只能在这四点中选取三个不同点,而这三点的两两连线中必有一条过原点与SODESODGSOEG矛盾所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G.22(本小题满分14分)(2011江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,M、N分别是椭圆1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA

14、的斜率为k.(1)若直线PA平分线段MN,求k的值;(2)当k2时,求点P到直线AB的距离d;(3)对任意的k0,求证:PAPB.解:(1)由题设知,a2,b,故M(2,0),N(0,),所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,所以k.(2)直线PA的方程为y2x,代入椭圆方程得1,解得x,因此P,A.于是C,直线AC的斜率为1,故直线AB的方程为xy0.因此,d.(3)证法一:将直线PA的方程ykx代入1,解得x记,则P(,k),A(,k)于是C(,0)故直线AB的斜率为,其方程为y(x),代入椭圆方程得(2k2)x22k2x2(3k22)0,解得x或x.因此B.于是直线PB的斜率k1.因此k1k1,所以PAPB.证法二:设P(x1,y1),B(x2,y2),则x10,x20,x1x2,A(x1,y1),C(x1,0)设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2.因为C在直线AB上,所以k2.从而k1k12k1k212110.因此k1k1,所以PAPB.

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