1、数学：“直线的倾斜角和斜率”教学设计金华市艾青中学阮彩香一、内容和内容解析内 容：直线倾斜角与斜率的概念，直线的斜率公式内容解析：本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用以坐标法研究直线及其几何性质的基础本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想方法本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用倾斜角是从几何的角度描述了直线倾斜程度课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念斜率是从代数角度描述了直
2、线倾斜程度课本借助“坡度”引出直线斜率的概念定义给出了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系直线可由两点来确定，就是说，任给直线上两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)（其中x1x2），那么这条直线唯一确定，进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想教学重点：直线的倾斜角及斜率公式二、目标和目标解析目 标：理解倾斜角的概念，明确确定直线的几何要素理解斜率的定义和公式，经历几何问题代数化的过程，了解
3、坐标法思想目标解析：在平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线的倾斜角概念，明确倾斜角的取值范围借助“坡度”概念引出斜率的概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识初步了解坐标平面内的图形的几何特征是如何进行量化和代数化的,了解“坐标法”三、教学问题诊断分析两点确定一条直线是学生知道的，如何认识直角坐标系这一“参照系”下确定直线的几何要素，对学生来说有点困难所以在教学过程中可以引导学生发现两点确定的其实是直线上的一点及其方向，再通过对直线方向的正确描述的探讨，形成倾斜角的概念，明确一点和一角是确定直线的几何要素引入斜率的概念时，教
4、学中可充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念知道倾斜角和斜率都可以刻画直线的倾斜程度探究已知两点求直线的斜率公式,这既是这节课的一个重点，又是后继内容（直线的方程）学习的一个要点事实上，它揭示了同一直线上的点所具有的一般规律：过任意两点确定的倾斜角是相同的，为学生学习直线方程做了铺垫，同时说明为什么有了直线的倾斜角，还需要引入斜率这个概念的必要性这一点学生在后继内容学习的过程中会慢慢地体会到由倾斜角到斜率，再对斜率的坐标化，这正是解析法思想的所在要注意的是要通过对在坐标系下的直线的四种位置及P1、P2两点
5、位置顺序的讨论，渗透分类讨论的思想教学难点：倾斜角概念的形成，斜率概念的理解四教学条件支持为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性五教学过程设计1.开篇语（1）活动设置如何在直角坐标系内画出我们学校从校门口到食堂的路线？ 图1线段AB的中垂线上的点M在运动的过程中什么量保持不变？【设计意图】通过对如何确定图2和图3中的几何图形的方法探讨，使学生明确，在平面直角坐标系中，如果给定了点的坐标，多边形的形状和大小就唯一确定就是说，如果有了点坐标，可以通过坐标的运算研究图形的几何性质
6、；如果能找到动点在运动过程中规律，也即一个不变的等量关系式，就能寻找到用以表示曲线的代数式，然后我们就可以通过这个代数表达式研究图形的性质通过活动，让学生初步体会坐标法思想 （2）提升小结引导性语言：这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期课后请同学们阅读课本P111笛卡儿与解析几何，进一步了解解析几何2.课题引入引导性语言：今天我们先从直线开始研究根据坐标法思想，为了确定表示直线的代数表达式，
7、先必须探索坐标系下直线的几何特征，即确定直线位置的几何要素，然后用代数的方法把几何要素表示出来【设计意图】使学生明确本课学习的内容3.探究新知（1）倾斜角概念问题1：如图4，在平面直角坐标系内，你认为直线l的位置由哪些条件确定？【设计意图】引导学生复习学过的相关知识，寻找新内容的生长点预设的回答：两点确定一条直线师生活动：引导学生发现：两点确定一条直线，而这两点确定的其实是直线上的一点及其方向，明确过一点不能确定一条直线（如图5）问题2：在直角坐标系中，任何一条直线都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来表示这个倾斜程度呢？ 【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念
8、师生活动：引导学生把重点放在“如何描述直线倾斜程度”的问题上启发学生可以用角来区别直线的位置问题3：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？【设计意图】让学生明确倾斜角的取值范围是0180问题4：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？【设计意图】使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，两者缺一不可（2）斜率概念引导性语言：到现在为止，我们寻找到确定直线的几何要素是两点或一点一倾斜角，由这些几何要素还是不能确定一个等量关系，找到直线的代数表示，所以我们继续探索直线上的点在变的过程中有什么量是不
9、变的问题5：确定了点P1和角后，P2点位置的改变不会影响直线的位置，也即角的大小不会改变，这种变化规律类似我们已学过的什么内容？【设计意图】基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法预设的回答：相似三角形师生活动：引导学生回忆起坡度问题，如图6、7、8所示，知道坡度(比)=然后通过类比，把坡度这个同样用来刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起来，引导学生发现如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角的正切值”, 由此引出斜率概念问题6：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？可以用斜率表示直线的倾斜程度吗？【设计意图】沟通数形关系，加深概念理解明确斜率和倾斜角之
10、间的关系，从而明确斜率是直线的倾斜程度的代数表示（3）斜率公式引导性语言：有了斜率的概念，我们得到等式是k=tan，这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系，但我们可以尝试探究tan的值与直线上的点坐标之间联系问题7：两点确定一条直线，就是说，任给直线上两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) （其中x1x2），那么这条直线唯一确定（如图9、10所示），进而它的倾斜角与斜率也就确定了，这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系那么这种联系是什么呢？【设计意图】让学生自己探索发现直线的斜率的坐标表示公式师生活动：教师给出直线上两点的坐标，可以请两位同学到黑板上板演，其余同学在下面完成；学生
11、根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式师生共同评析，明确公式与P1 ，P2的顺序无关问题8：当直线与坐标轴平行或重合时（如图11、图12所示）,上述结论还成立吗?【设计意图】通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=（x1x2），检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关4.应用举例例1 如图13，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角【设计意图】直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系师生活动：学生动笔计算出答案，教师引导学生可以结合图形，直接分析得出倾斜角和斜率的关系变式（1）把题中的
12、B点坐标改为(-4，2)，此时直线AB的斜率和倾斜角分别什么？（2）把B点坐标改为(3，1)，此时直线AB的斜率和倾斜角分别什么？例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线 设计意图：要求学生画图，体验数形结合的思想方法熟练应用两点式斜率公式师生活动：引导学生根据已知条件分析解决方法，可以利用一点一角确定直线，也可以用两点确定直线因为直线过原点，所以只要再找出另外一点直线就可以确定了在推导斜率公式时，学生已经知道，斜率k的值与直线上的两点位置无关，因此，由已知直线的斜率画直线时，可以再找一个特殊点，比如可以使其横坐标等于1，给计算带来方便5.课堂练习（1）课本P86
13、练习1，2，3，4.（2）当m为何值时，经过两点A（-m，6），B（1，3m）的直线斜率是12？当m为何值时，经过两点A（m，2），B（-m，2m-1）的直线的倾斜角是450？ （3）已知直线l上不同三点A（1，2），B（3，4），C(x，y)，试求kAB和kAC.6.课堂小结（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？它们有什么关系？（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？（3）从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度，到斜率(数)也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？【设计意图】培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括师生活动：让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角(形)和斜率(数)利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法六、目标检测设计1.课本P89习题3.1A组 1，2，3. 2.实习作业