1、2.2.2事件的独立性1.理解相互独立事件的定义及意义.(难点)2.理解概率的乘法公式.(易混点)3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.(重点)基础初探教材整理事件的相互独立性阅读教材P50P52例2以上部分，完成下列问题.1.定义设A，B为两个事件，若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)P(B)，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.2.性质(1)当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也相互独立.(2)若事件A，B相互独立，则P(B)P(B|A)，P(AB)P(A)P(B).3.n个事件相互独立对于n个事件A1，A2，An，
2、如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，An相互独立.4.n个相互独立事件的概率公式如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)，并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立.下列说法正确有_(填序号).对事件A和B，若P(B|A)P(B)，则事件A与B相互独立；若事件A，B相互独立，则P()P()P()；如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)P(B)；若事件A与B相互独立，则B与相互独立.【解析】若P(B|A)P(B)，则P(AB)P(A)P(B
3、)，故A，B相互独立，所以正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故正确；B与相互对立，不是相互独立，故错误.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型相互独立事件的判断判断下列各对事件是否是相互独立事件.(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从
4、剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.【精彩点拨】(1)利用独立性概念的直观解释进行判断.(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断.(3)利用事件的独立性定义式判断.【自主解答】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则
5、后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A2,4,6，B3,6，AB6，P(A)，P(B)，P(AB).P(AB)P(A)P(B)，事件A与B相互独立.判断事件是否相互独立的方法1.定义法：事件A，B相互独立P(AB)P(A)P(B).2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.3.条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)P(B)判断.再练一题1.(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是()A.一枚硬币掷两次，A“第一次为正面”，B“第二次为反面”B.袋中有2白，2黑的小球
6、，不放回地摸两球，A“第一次摸到白球”，B“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子，A“出现点数为奇数”，B“出现点数为偶数”D.A“人能活到20岁”，B“人能活到50岁”(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B() 【导学号：62980044】A.相互独立但不互斥B.互斥但不相互独立C.相互独立且互斥D.既不相互独立也不互斥【解析】(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影
7、响.故选A.(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A.【答案】(1)A(2)A相互独立事件发生的概率面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，.求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率.【精彩点拨】【自主解答】令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，
8、C相互独立，且P(A)，P(B)，P(C).(1)他们都研制出疫苗，即事件A、B、C同时发生，故P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)他们都失败即事件 同时发生.故P()P()P()P()(1P(A)(1P(B)(1P(C).(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P1P()1.1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积.2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生.再练
9、一题2.一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率.【解】记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件.(1)P(AB)P(A)P(B).故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.(2)P(CA)P(C)P(A).故第1次取出的2个球中1个是白
10、球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.探究共研型事件的相互独立性与互斥性探究1甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A“甲击中目标”，B“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件B与A呢？【提示】事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而B与A是互斥事件.探究2在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？【提示】“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则CBA.所以P(C)P(BA)P(B)P(A)P()P(B)P(A)P()(10.6)0.60.6(10.6)0.48.探究3由探究1、2，你能归纳出相互独立事件与互
11、斥事件的区别吗？【提示】相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记做：AB互斥事件A，B中有一个发生，记做：AB(或AB)计算公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率.【精彩点拨】弄清事件“红队有且只有一名队员获
12、胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值.【自主解答】设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D ，E ， F，以上3个事件彼此互斥且独立.红队有且只有一名队员获胜的概率P1P(D )(E )( F)P(D )P(E)P(F)0.60.50.50.40.50.50.40.50.50.35.(2)法一：红队至少两人获胜的
13、事件有：DE ，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE )P(D F)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件，且P()0.40.50.50.1.红队至少两人获胜的概率为P21P1P( )10.350.10.55.1.本题(2)中用到直接法和间接法.当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法.2.求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(
14、2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.再练一题3.(2016邯郸高二检测)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大.【解】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)，P(B)，P(C).设恰有k人合格的概率为Pk(k0,1,2,3).(1)三人
15、都合格的概率：P3(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)三人都不合格的概率：P0()P()P()P().(3)恰有两人合格的概率：P2P(AB)P(AC)P(BC).恰有一人合格的概率：P11P0P2P31.综合(1)(2)可知P1最大.所以出现恰有一人合格的概率最大.构建体系1.抛掷3枚质地均匀的硬币，A既有正面向上又有反面向上，B至多有一个反面向上，则A与B的关系是()A.互斥事件B.对立事件C.相互独立事件D.不相互独立事件【解析】由已知，有P(A)1，P(B)1，P(AB)，满足P(AB)P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C.【答案】C2.袋内有大小相同的3个白球和2
16、个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，则A与B是()A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.非相互独立事件【解析】根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A与B不是相互独立事件.【答案】D3.明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_.【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，则P(A)1(10.80)(10.90)10.200.100.98.【答案】0.984.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二
17、、三道工序的次品率分别为，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_. 【导学号：62980045】【解析】加工出来的零件的正品率是，因此加工出来的零件的次品率为1.【答案】5.在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率.【解】记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.(1)P(AB)P(A)P(B).(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P1P()1P()P()1.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测
18、评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.有以下三个问题：掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”.这三个问题中，M，N是相互独立事件的有()A.3个B.2个C.1个D.0个【解析】中，M，N是互斥事件；中，P(M)，P(N).即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；中，P(M)，P(N)，P(MN)，P(MN)P(M)P(N)，因此M，N是相互
19、独立事件.【答案】C2.(2016东莞调研)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则表示() 【导学号：62980046】A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率【解析】分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)，P(B)，由于A，B相互独立，所以1P()P()1.根据互斥事件可知C正确.【答案】C3.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A.B. C.D.【解析】问题等价为两
20、类：第一类，第一局甲赢，其概率P1；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2.故甲队获得冠军的概率为P1P2.【答案】A4.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图222所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是()图222A.B. C.D.【解析】青蛙跳三次要回到A只有两条途径：第一条：按ABCA，P1；第二条，按ACBA，P2.所以跳三次之后停在A叶上的概率为PP1P2.【答案】A5.如图223所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个
21、指针同时落在奇数所在区域的概率是()图223A.B. C.D.【解析】“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)，事件A，B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为，故选A.【答案】A二、填空题6.(2016铜陵质检)在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为_.【解析】“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事件B.“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P(B)，P(C).P(A)P(BC)P(B)P(C).【答案】7.三人独
22、立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为_. 【导学号：62980047】【解析】用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)，P(B)，P(C)，且P( )P()P()P().所以此密码被破译的概率为1.【答案】8.台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是_.【解析】设甲、乙、丙预报
23、准确依次记为事件A，B，C，不准确记为，则P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，P()0.2，P()0.3，P()0.1，至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立.所以至少两颗预报准确的概率为PP(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)0.80.70.10.80.30.90.20.70.90.80.70.90.0560.2160.1260.5040.902.【答案】0.902三、解答题9.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概
24、率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【解】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.(1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB，P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8.(2)D，P(D)1P(C)10.80.2，P(E)0.80.20.80.80.80.20.20.80.80.384.10.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概
25、率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求的分布列.【解】设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)0.4，P(A2)0.5，P(A3)0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以的可能取值为1,3.则P(3)P(A1A2A3)P(123)P(A1)P(A2)P(A3)P(1)P(2)P(3)20.40.50.60.24.P(1)10.240.76.所以分布列为：13P0.760.24能力
26、提升1.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是()A.B. C.D.【解析】由P(A )P(B )，得P(A)P()P(B)P()，即P(A)1P(B)P(B)1P(A)，P(A)P(B).又P( )，P()P()，P(A).【答案】D2.三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，且是互相独立的.将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图224的电路中，电路不发生故障的概率是()图224A.B. C.D.【解析】记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)，P(A2
27、)，P(A3).不发生故障的事件为(A2A3)A1，不发生故障的概率为PP(A2A3)A11P(2)P(3)P(A1).故选A.【答案】A3.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是，两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为_. 【导学号：62980048】【解析】由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超
28、过四个小时还车的概率分别为，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A).所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.【答案】4.在一段线路中并联着3个自动控制的开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.【解】如图所示，分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P()P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C)(10.7)(10.7)(10.7)0.027.于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1P()10.0270.973.即在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.
