1、第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1下列说法中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直，则l；如果直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直A0B1C2D3解析：由直线和平面垂直的定理知正确；由直线与平面垂直的定义知，正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条直线垂直，故错误，正确答案：D2直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行B相交C异面 D垂直解析：若lm，l，m，则l，这与已知l矛盾所以直线
2、l与m不可能平行答案：A3如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()三角形的两边梯形的两边圆的两条直径正六边形的两条边A BC D解析：由线面垂直的判定定理可知是正确的，而中线面可能平行、相交中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直答案：A4.如图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A平行B垂直相交C垂直但不相交D相交但不垂直解析：因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的
3、位置关系是垂直但不相交答案：C5.如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数是()A1 B2C3 D4解析：BC平面PACBCPC，所以直角三角形有PAB，PAC，ABC，PBC.答案：D二、填空题6已知ABC所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是ABC的_(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)解析：P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到ABC三顶点的距离都相等，所以是外心答案：外心7已知正三棱锥SABC的所有棱长都相等，则SA与平面ABC所成角的余弦值为_解析：因为SABC为正三棱锥，所以设点S在底面ABC上
4、的射影为ABC的中心O，连接SO，AO，如图所示，则SAO为SA与底面ABC所成的角，设三棱锥的棱长为a，在RtSOA中，AOasin 60a，SAa，所以cosSAO.答案：8如图所示，平面CD，EA，垂足为A，EB，垂足为B，则CD与AB的位置关系是_解析：因为EA，CD，根据直线和平面垂直的定义，则有CDEA.同样，因为EB，CD，则有EBCD.又EAEBE，所以CD平面AEB.又因为AB平面AEB，所以CDAB.答案：CDAB三、解答题9如图所示，在正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，求直线CE与底面BCD所成的角的正弦值解：设正四面体ABCD的棱长为1，如图，作AO平面BCD，垂足
5、为O，则O是BCD的中心，故OD.取OD的中点G，连接EG，因为EGODG，则EG平面BCD.连接CG，于是ECG就是直线CE与底面BCD所成的角因为EGAO ，又CE，所以sinECG.所以直线CE与底面BCD所成的角的正弦值为.10如图所示，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，F为CE上的点，且BE平面ACE.求证： AEBE.证明：因为AD平面ABE，ADBC，所以BC平面ABE.又AE平面ABE，所以AEBC.因为BF平面ACE，AE平面ACE，所以AEBF.又因为BF平面BCE，BC平面BCE，BFBCB，所以AE平面BCE.又BE平面BCE，所以AEBE.B级能力提升1已知直线m
6、，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在答案：B2在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是_解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE面BB1C1C.所以AEDE，因此AD与平面BB1C1C所成角即为ADE，设ABa，则AEa，DE，有tanADE，所以ADE60.答案：603(2016全国卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置，OD.证明：DH平面ABCD.证明：由已知得ACBD，AD CD，又由AECF，得，故ACEF.因为EFHD，从而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得，所以OH1，DHDH3，于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.
