1、1相同的一组数按不同顺序排列时，都表示同一个数列()提示数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列2任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()提示数列可以是常数列或摆动数列3等差数列an的单调性是由公差d决定的()4数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()提示若公差d0，则通项公式不是n的一次函数5如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN，都有an1Sn1Sn()6等差数列的前n项和是常数项为0的二次函数()提示若公差d0，则前n项和不是二次函数7已知等差数列an的任意两项ap，aq，则其通项公式为anap(np)()8若数列an为等差数列，则S4，S8S4，S12S8
2、成等差数列()9等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数()提示在等比数列中，q010数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn()提示当a1时，Snna11若数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn()12三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac()提示若a0，b0，c0满足b2ac，但a，b，c不成等比数列13数列nan1的前n项和，可利用错位相减法求得，但要对a讨论()14当n2时，()15数列an为等差数列的充要条件是对任意nN，都有2an1anan2()16若数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列()提示当S40时，an不是等比数列17等
3、比数列被其任意两项唯一确定()提示当已知a1，a3时，等比数列an不唯一18若数列a1，a2a1，anan1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式是an()19f(x0)是函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率()20函数f(x)sin(x)的导数f(x)cos x()提示f(x)sin(x)sin x，则f(x)cos x21当且仅当f(x)ex时，f(x)f(x)()提示当f(x)0时，也有f(x)f(x)22曲线yf(x)的切线与曲线yf(x)除了切点外还可能有别的公共点()23若函数f(x)在(a，b)内单调递减，那么一定有f(x)0，则函数f(x)在(a，b)内不可能单调
4、递减()26单调函数不存在极值()27函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()28极小值一定不是函数的最大值，函数的极大值也一定不是最小值()29对于只有一个极值点的可导函数，其极小值一定是函数的最小值，极大值也一定是最大值()30若f(a)g(a)，且f(x)g(x)，则当xa时，f(x)g(x)()【例1】(2019全国卷)已知数列an和bn满足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式解(1)证明：由题设得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因为a
5、1b11，所以anbn是首项为1，公比为的等比数列由题设得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2又因为a1b11，所以anbn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n【例2】(2020全国卷)设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项(1)求an的公比；(2)若a11，求数列nan的前n项和解(1)设an的公比为q，由题设得2a1a2a3，即2a1a1qa1q2所以q2q20，解得q1(舍去)或q2故an的公比为2(2)记Sn为nan的前n项和由(1)及题设可得
6、，an(2)n1所以Sn12(2)n(2)n1，2Sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n可得3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)nn(2)n所以Sn点评求数列的通项公式与数列求和是高考的热点，求通项公式，通常需要构造等差或等比数列来求，但其重点不在构造上，而在用定义证明上；求和，主要考查错位相减法与裂项相消法，注重基础【例3】(2019全国卷)已知函数f(x)ln x(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线解(1)f(x)的定义域为(0，1)(1，)因为f(x
7、)0，所以f(x)在(0，1)，(1，)单调递增因为f(e)10，f(e2)20，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1(ex1e2)，即f(x1)0又01，f ln x1f(x1)0，故f(x)在(0，1)有唯一零点综上，f(x)有且仅有两个零点(2)证明：因为e，所以点B在曲线yex上由题设知f(x0)0，即ln x0，则直线AB的斜率k曲线yex在点B处切线的斜率是，曲线yln x在点A(x0，ln x0)处切线的斜率也是，所以曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线【例4】(2019全国卷)已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数证明：
8、(1)f(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点证明(1)设g(x)f(x)，则g(x)cos x，g(x)sin x当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零点，设为则当x(1，)时，g(x)0；当x时，g(x)0所以g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1，)()当x(1，0时，由(1)知，f(x)在(1，0)单调递增，而f(0)0，所以当x(1，0)时，f(x)0，故f(x)在(1，0)单调递减又f(0)0，从而x0是f(x)在(1，0的唯一零点()当x时，
9、由(1)知，f(x)在(0，)单调递增，在单调递减，而f(0)0，f0，所以存在，使得f()0，且当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0故f(x)在(0，)单调递增，在单调递减又f(0)0，f 1ln0，所以当x时，f(x)0从而，f(x)在没有零点()当x时，f(x)0，所以f(x)在单调递减而f 0，f()0，所以f(x)在有唯一零点()当x(，)时，ln(x1)1，所以f(x)0，从而f(x)在(，)没有零点综上，f(x)有且仅有2个零点点评(1)本题求解的关键是明确函数的极值点与函数零点之间的联系，充分运用函数的单调性、极值、零点存在性定理综合求解(2)函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的性质是历年高考的重点、热点，涉及的主要内容：(1)讨论函数的单调性；(2)求函数的极值、最值；(3)求切线；(4)利用函数的性质研究方程、不等式考查数学运算、逻辑推理、直观想像等数学素养