1、2011年八闽协作卷理科数学推荐试题不等式、函数与导数题推荐题一、选择题1、等于 ( )A B C D【解析】函数是奇函数，原式=，选D。2、定义在上的函数是减函数，且函数的图象关于成中心对称，若，满足不等式则当时，的取值范围是 ( ) A B C D【解析】函数的图象关于成中心对称，是奇函数，。在条件下，易求的取值范围是。选D。3、函数的零点个数为 ( )A0 B1 C2 D3【解析】当时，令解得；当时，根据图象知的解为，所以已知函数有两个零点，选C。二、填空题：4、若实数、满足 且的最小值为，则实数的值为 . ks5u【解析】由解得点的坐标，直线过点时，取最小值为，即，。5、给出定义：若，
2、则叫离最近的整数，记作，在此基础上给出关于的函数的四个命题：的定义域为，值域为；的图象关于直线对称；是周期函数，且最小正周期为；在上是增函数。其中正确命题的序号为 。【解析】取，作出的图象，易知正确命题是。6、设函数的定义域分别为，且。若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数。设，为在R上的一个延拓函数，且是奇函数，则= 。【解析】当时，；当时；。三、解答题7、（本题14分）设，函数。（）当时，求函数的递增区间；（）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”.特别地，当时，又称直线存在“中值伴
3、侣切线”.试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论。解：（）当时，ks5u当时，在上递增。2分当时，由得：，在上递增。综上知，的递增区间为。4分（）当时，恒成立在上恒成立。设，则当时，得，当时，递减；当时，递增；最小值是，；7分当时，则恒成立，在上递增，的最小值是，恒成立8分综上知，所求的取值范围是。9分（）函数图象上的不同两点连线不存在“中值伴侣切线”。 证明如下：当时，。假设函数图象上的不同两点连线存在“中值伴侣切线”， 则直线的斜率 ，11分令，则，上式化为：，即若令，由， 在上单调递增，这表明在内不存在，使得 13分综上所述，函数图象上的不同两点
4、连线不存在“中值伴侣切线”。 14分8、（本题14分）设曲线：，表示的导函数。（）求函数的极值；（）数列满足，求证：数列中的任意三项都不能构成等差数列；（）对于曲线上的不同两点，是否存在唯一，使直线的斜率等于？证明的结论。解：（）的定义域为，令，得，2分当时，所以递增；当时，所以递减。所以，当时有极大值，无极小值。4分（），是首项为，公比为的等比数列，。6分ks5u假设数列中的存在三项成等差数列，则，即，是偶数，是奇数，矛盾，数列中的任意三项都不能构成等差数列。8分（）存在唯一，使直线的斜率等于。证明如下：的斜率。9分设函数，则。设函数，则，在上递减，即，11分同理可证，在区间内有零点12分又，在区间内是增函数在区间内有唯一的零点，ks5u故存在唯一，使直线的斜率等于。14分
