1、2.5.2离散型随机变量的方差与标准差1了解并掌握随机变量的方差和标准差的概念，了解方差、标准差的意义(重点)2掌握服从两点分布和二项分布的方差公式，会运用方差的概念及相关公式求随机变量的方差和标准差(难点)基础初探教材整理离散型随机变量的方差与标准差阅读教材P71P72“例2”以上部分，完成下列问题1离散型随机变量的方差和标准差若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2xnPp1p2pn则(xi)2(E(X)描述了xi(i1,2，n)相对于均值的偏离程度，故(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn(其中pi0，i1,2，n，p1p2pn1)刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，我
2、们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V(X)或2.即V(X)2(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn，其中，pi0，i1,2，n，p1p2pn1.方差也可用公式V(X)pi2计算X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即.2超几何分布和二项分布的方差(1)若X01分布，则V(X)p(1p)；(2)当XH(n，M，N)时，V(X)(3)当XB(n，p)时，V(X)np(1p)1下列说法正确的有_(填序号)离散型随机变量的期望E()反映了取值的概率的平均值；离散型随机变量的方差V()反映了取值的平均水平；离散型随机变量的期望E()反映了取值的波动水平；离散型随机变量的方差V()反映了取值
3、的波动水平【解析】错误因为离散型随机变量的期望E()反映了取值的平均水平错误因为离散型随机变量的方差V()反映了随机变量偏离于期望的平均程度错误因为离散型随机变量的方差V()反映了取值的波动水平，而随机变量的期望E()反映了取值的平均水平正确由方差的意义可知正确【答案】2已知随机变量，V()，则的标准差为_【解析】的标准差.【答案】3若随机变量X服从两点分布，且成功概率P0.5，则V(X)_，E(X)_.【解析】E(X)0.5，V(X)0.5(10.5)0.25.【答案】0.250.54一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则V(X)的值为_. 【导学号：29440057】【解
4、析】由题意知XB，所以V(X)4.【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑： 小组合作型方差和标准差的计算(1)已知随机变量X满足V(X)2，则V(3X2)_.(2)一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为，则V()等于_(3)已知的分布列为：010205060P求的方差及标准差；设Y2E()，求V(Y)【精彩点拨】(1)应用方差的性质V(ab)a2V()求解(2)应用二项分布的方差求解(3)借助方差的定义和性质求解【自主解答】(1)V(3X2)9V(X)18.(2)服
5、从二项分布，B(10,0.02)，V()100.02(10.02)0.196.【答案】(1)18(2)0.196(3)E()01020506016，所以V()(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384，8.法一：随机变量Y的概率分布为：Y1642484104PE(Y)164248410416，V(Y)(1616)2(416)2(2416)2(8416)2(10416)21 536.法二：Y2E()，V(Y)V(2E()22V()43841 536.求离散型随机变量的方差的类型及方法：(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下：求均值；
6、求方差.(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下：若X服从两点分布，则V(X)p(1p)；若XB(n，p)，则V(X)np(1p).(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况.(4)对于已知V(X)求V(aXb)型，利用方差的性质求解，即利用V(aXb)a2V(X)求解.再练一题1为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)3，V(X)，求n，p的值【解】由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(
7、X)np3，V(X)np(1p)，得1p，p，n6.方差的应用甲、乙两射手在同一条件下进行射击，射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2；射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,0.2,0.4.用击中环数的数学期望与方差比较两名射手的射击水平【精彩点拨】分别计算甲、乙两射手的期望与方差，比较其大小，并依据期望与方差的意义作出结论【自主解答】设甲、乙两射手射击，击中环数分别为1，2，E(1)80.290.6100.29.V(1)(89)20.2(99)20.6(109)20.20.4；同理有E(2)9，V(2)0.8.由上可知，E(1)E(2)，V(1)V(2)所以，在
8、射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲的环数较集中，而乙的环数较分散1.均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓2.有时两个随机变量即使均值相同，其取值差异也可能很大，此时，我们就要利用方差来反映随机变量取值的集中程度由此来刻画两个随机变量的分布，对实际问题作出决策判断再练一题2在例2题设条件不变的条件下，(1)其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？(2)如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？【解】(1)如果其他对手射击成绩都在8环左右，且甲射击水平更稳定，故应派甲(2)如果其他对
9、手射击成绩都在9环左右，由于乙射击10环的可能性较甲大，故应派乙探究共研型均值、方差的综合应用探究1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试求E(X1)，E(X2)【提示】E(X1)00.710.220.0630.040.44.E(X2)00.810.0620.0430.100.44.探究2在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能因为E(X1)E(X2)探究3在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B
10、两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差方差越小，加工的质量越稳定甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出，的分布列(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值【自主解答】(1)由题意得：0.53aa0.11，解得a0.1.因为乙射
11、中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2.所以，的分布列分别为10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E()100.590.380.170.19.2；E()100.390.380.270.28.7；V()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96；V()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于E()E()，V()V(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护
12、区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高构建体系1已知随机变量的分布列如下表：101P则的均值为_，方差为_【解析】均值E()x1p1x2p2x3p3(1)01；方差V()(x1E()2p1(x2E()2p2(x3E()2p3.【答案】2如果X是离散型随机变量，E(X)6，V(X)0.5，X12X5，那么E(X1)和V(X1)分别是_，_. 【导学号：29440058】【解析】因为E(X1)E(2X5)2E(X)52657，V(X1)V(2X5)4V(X)40.52.【答案】723有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E
13、(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)，则自动包装机_的质量较好【解析】因为E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)，故乙包装机的质量稳定【答案】乙4已知离散型随机变量X的分布列如下表：X1012Pabc若E(X)0，V(X)1，则a_，b_.【解析】由题意，解得a，bc.【答案】5已知某运动员投篮命中率p0.6，(1)求一次投篮命中次数的均值与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数的均值与方差【解】(1)投篮一次命中次数的分布列为01P0.40.6则E()00.410.60.6，V()(00.6)20.4(10.6)20.60.24.(2)由题意知，重复5次投篮，命中次数服从二项分布，即
14、B(5,0.6)由二项分布期望与方差的计算公式，有E()50.63，V()50.60.41.2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1已知随机变量满足V()，则的标准差为_【解析】.【答案】2设随机变量可能取值为0,1，且满足P(1)，P(0)，则V()_.【解析】由题意可知，随机变量服从两点分布，故V().【答案】3随机变量的取值为0,1,2.若P(0)，E()1，则V()_. 【导学号：29440059】【解析】设P(1)x，P(2)y，则所以V()(01)2(11)(21)2.【答案】4若B，且23，则V()_，V
15、()_.【解析】B，V()4.V()V(23)4V().【答案】5(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_【解析】法一：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X0)，P(X1)C，P(X2)2.所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012P则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)012.法二：此试验满足二项分布，其中p，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)np2.【答案】6随机变量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(
16、)，则V()_. 【导学号：29440060】【解析】由题意得2bac，abc1，ca，以上三式联立解得a，b，c，故V().【答案】7(2016扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_【解析】成功次数B(100，p)，V()100p(1p)100225.当且仅当p1p，即p时，取得最大值5.【答案】58一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分
17、别为_【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y4X.由题知XB(25,0.6)，所以E(X)250.615，V(X)250.60.46，E(Y)E(4X)4E(X)60，V(Y)V(4X)42V(X)16696，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.【答案】60,96二、解答题9设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，设表示取出次品的个数(1)若取后不放回，求的均值E()和方差V()；(2)若取后再放回，求的均值E()和方差V()【解】(1)由题意，得H(3,2,15)，E()，V().(2)由题意B，E(
18、)np3，V()np(1p)3.10(2016淮安高二检测)一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球(1)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差【解】(1)“有放回摸球”可看作独立重复试验，因为每摸出一球得白球的概率为p.所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为C.(2)设摸得白球的个数为，依题意得：P(0)，P(1)，P(2)，所以E()012，V()222.能力提升1若随机变量的分布列为P(m)，P(n)a，若E()2，则V()的最小值等于_【解析】由分布列中，概率和为1，则a1，a.E()2，2，
19、m62n.V()(m2)2(n2)2(n2)2(62n2)22n28n82(n2)2.n2时，V()取最小值0.【答案】02有同寝室的四位同学分别每人写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X，则X的方差是_【解析】由条件，得X的概率分布列为：X0124PE(X)01241，V(X)(01)2(11)2(21)2(41)21.【答案】13设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，x19的公差，随机变量等可能地取值x1，x2，x3，x19，则方差V()_.【解析】E()x10，V()(928212021292)30d2.【答案】30d24一家面包房根据以往某种面包
20、的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图253所示图253将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的概率分布，期望E(X)及方差V(X)【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率分别为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216.X的概率分布为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差V(X)30.6(10.6)0.72.