1、24.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角预习课本P106107，思考并完成以下问题(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？ (2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？ 1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即abx1x2y1y2向量垂直abx1x2y1y20点睛公式ab|a|b|cosa，b与abx1x2y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式ab|a|b|cosa，b求解；
2、若已知两向量的坐标，则可选用公式abx1x2y1y2求解2与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a(x，y)，则|a|.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos .1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和()(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.()(3)若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角()答案：(1)(2)(3)2已知a(3,4)，b(5,2)，则ab的
3、值是()A23B7C23D7答案：D3已知向量a(x5,3)，b(2，x)，且ab，则由x的值构成的集合是()A2,3 B1,6 C2 D6答案：C4已知a(1，)，b(2,0)，则|ab|_.答案：2平面向量数量积的坐标运算典例(1)向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a()A1B0C1 D2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则()A5 B4C3 D2解析(1)a(1，1)，b(1,2)，(2ab)a(1,0)(1，1)1.(2)由(1，2)(2,1)(3，1)，得(2,1)(3，1)5.答案(1)C(2)A数量积坐标运算的两条途
4、径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算活学活用1在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则_.解析：如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则(1,0)，(1，1)，从而(1,0)(1，1)110(1)1.答案：12在平行四边形ABCD中，(1,2)，(3,2)，则_.解析：设AC，BD相交于点O，则(1,2)又(1,2)，(1,2)(1,2)1
5、43.答案：3向量的模的问题典例(1)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于()A. B.C. D.(2)已知|a|2，b(2，3)，若ab，求ab的坐标及|ab|.解析(1)ab，1y2(2)0，解得y4，从而3ab(1,2)，|3ab|.答案A(2)设a(x，y)，则由|a|2，得x2y252.由ab，解得2x3y0. 由，解得或a(6,4)或a(6，4)ab(8,1)或ab(4，7)，|ab|.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算：若a(x，y)，则aaa2|a|2x
6、2y2，于是有|a|.活学活用1已知向量a(cos ，sin )，向量b(，0)，则|2ab|的最大值为_解析：2ab(2cos ，2sin )，|2ab|，当且仅当cos 1时，|2ab|取最大值2.答案：22已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca(ab)b，则|c|_.解析：a(2,4)，b(1,2)，ab2(1)426，ca(ab)b(2,4)6(1,2)(2,4)(6,12)(8，8)，|c|8.答案：8向量的夹角和垂直问题典例(1)已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，则a与c的夹角为()A30B60C120 D150(2)已知向量a(1,2)，b(2,3
7、)若向量c满足(ca)b，c(ab)，求c的坐标解析(1)ab2810，得(cb)acabaca10，ca.设a与c的夹角为，则cos .0180，120.答案C(2)设c的坐标为(x，y)，则ac(1x,2y)(ac)b，(1x)32(2y)0，即3x2y1.又ab(3,5)，且(ab)c，3x5y0.联立，得方程组解得故c.解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积ab以及|a|b|，再由cos 求出cos ，也可由坐标表示cos 直接求出cos .由三角函数值cos 求角时，应注意角的取值范围是0.(2)由于0，利用cos 来判断角时，要注意co
8、s 0也有两种情况：一是为锐角，二是0.活学活用已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac.(1)求b与c；(2)若m2ab，nac，求向量m，n的夹角的大小解：(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设m，n的夹角为，则cos .0，即m，n的夹角为.平面向量的数量积问题典例已知点A，B，C满足|3，|4，|5，求的值解法一定义法如图，根据题意可得ABC为直角三角形，且B，cos A，cos C，45cos(C)53cos(A)20cos C1
9、5cos A201525.法二坐标法 如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)(3,0)，(0,4)，(3，4)30040，034(4)16，3(3)(4)09.016925.法三转化法|3，|4，|5，ABBC，0，()|225.求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法：利用定义式ab|a|b|cos 求解；(2)坐标法：利用坐标式abx1x2y1y2求解；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算活学活用如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cosDOE的值为_解析：法一：
10、以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得，.故cosDOE.法二：，|，|，221，cosDOE.答案：层级一学业水平达标1已知向量a(0，2)，b(1，)，则向量a在b方向上的投影为()A.B3C D3解析：选D向量a在b方向上的投影为3.2已知向量a(1，k)，b(2,2)，且ab与a共线，则ab的值为()A1 B2C3 D4解析：选Dab(3，k2)，由ab与a共线，可得3k(k2)0，解得k1，则a(1,1)，从而ab12124.3已知向量a(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且ab，则b()A. B.C. D(1,0)解析
11、：选B设b(x，y)，其中y0，则abxy.由解得即b.4已知向量a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A. BC. D解析：选C设b(x，y)，则2ab(8x,6y)(3,18)，所以解得故b(5,12)，所以cosa，b.5已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k的值为()A B0C3 D.解析：选C2a3b(2k3，6)又(2a3b)c，(2a3b)c0，即(2k3)2(6)0，解得k3.6设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.解析：ac(3,3m)，由(ac)b，可得(ac)b0，即3(m
12、1)3m0，解得m，则a(1，1)，故|a|.答案：7向量a(2,3)，b(1,2)，则|a2b|_.解析：a(2,3)，b(1,2)，a2b(4，1)，|a2b|.答案：8已知a(2,1)，b(1，1)，cakb，dab，c与d的夹角为，则实数k的值为_解析：cakb(2k,1k)，dab(1,0)，由cos ，得，(2k)2(k1)2，k.答案：9已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解：(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0，即x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则1(x)x(2x3)0，即
13、x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.综上，|ab|2或2.10已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值解：(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)又1(3)130，即ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为(x，y)，则(1,1)，(x1，y4)，解得点C的坐标为(0,5)由于(2,4)，(4,2)，
14、8816，|2，|2.设与的夹角为，则cos ，矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.层级二应试能力达标1已知O为坐标原点，向量(2,2)，(4,1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标是()A(3,0)B(2,0)C(3,0) D(4,0)解析：选C设P(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)2x26x10(x3)21，故当x3时，最小，此时点P的坐标为(3,0)2已知a(1,1)，b(0，2)，且kab与ab的夹角为120，则k()A1B2C1 D1解析：选C|kab|，|ab|，(kab)(ab)(k，k2)(1，1)kk22，kab与ab的夹角为120
15、，cos 120，即，化简并整理，得k22k20，解得k1.3若a(x,2)，b(3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Cx应满足(x,2)(3,5)0且a，b不共线，解得x，且x，x.4已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，O(0,0)，若|，(0，)，则，的夹角为()A. B.C. D.解析：选D因为|2()222296cos 113，所以cos ，因为(0，)，所以，所以C，所以cos，因为0，所以，所以，的夹角为.5已知向量ab，且a(x,1)，b(1，2)，则实数x_，|ab|_.解析：ab，ab0，即x20，x2，
16、ab(3，1)，|ab|.答案：26已知三个点A，B，C的坐标分别为(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若ABC为直角三角形，则实数m的值为_解析：由已知，得(3,1)，(2m,1m)，(1m，m)当A为直角时，则3(2m)1m0，解得m.当B为直角时，则3(1m)m0，解得m.当C为直角时，则(2m)(1m)(1m)(m)0，即m2m10，解得m.综上，知当ABC为直角三角形时，m的值为或或.答案：或或7已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解：(1)设c(x，y)，|c|2，2，
17、x2y220.由ca，可得2xy0.由解得或故c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，253ab20，整理得ab，cos 1.又0，.8已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，(4,0)，(2,2)，(1) (2)(1)求及在上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当时，求的值；(3)求|的最小值解：(1)42028，设与的夹角为，则cos ，在上的投影为|cos 42.(2)(2,2)，(1)(1)(1)，且2，A，B，C三点共线当时，11，所以2.(3)|2(1)222(1)22162161616212，当时，|取得最小值，为2.